Математический анализ Примеры

$\frac{d^{2} s}{d t^{2}} = \sin (3 t) + \cos (3 t)$

Этап 1

Проинтегрируем обе части по $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Первая производная равна интегралу от второй производной по $t$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) + \cos (3 t) d t$

Этап 1.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (3 t) d t + \int \cos (3 t) d t$

Этап 1.3

Пусть $u_{1} = 3 t$ . Тогда $d u_{1} = 3 d t$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Пусть $u_{1} = 3 t$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Дифференцируем $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 1.3.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 1.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \sin (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Этап 1.4

Объединим $\sin (u_{1})$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \int \frac{\sin (u_{1})}{3} d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Этап 1.5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} \int \sin (u_{1}) d u_{1} + \int \cos (3 t) d t$

Этап 1.6

Интеграл $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ имеет вид $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (3 t) d t$

Этап 1.7

Пусть $u_{2} = 3 t$ . Тогда $d u_{2} = 3 d t$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Пусть $u_{2} = 3 t$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1.1

Дифференцируем $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 1.7.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 1.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 1.7.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 1.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Этап 1.8

Объединим $\cos (u_{2})$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \int \frac{\cos (u_{2})}{3} d u_{2}$

Этап 1.9

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Этап 1.10

Интеграл $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ имеет вид $\sin (u_{2})$ .

$\frac{d s}{d t} = \frac{1}{3} (- \cos (u_{1}) + C_{1}) + \frac{1}{3} (\sin (u_{2}) + C_{2})$

Этап 1.11

Упростим.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (u_{1})}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Этап 1.12

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.12.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (u_{2}) + C_{3}$

Этап 1.12.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 t$ .

$\frac{d s}{d t} = - \frac{\cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Этап 1.13

Изменим порядок членов.

$\frac{d s}{d t} = - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}$

Этап 2

Перепишем уравнение.

$d s = (- \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3}) d t$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Этап 3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) + \frac{1}{3} \sin (3 t) + C_{3} d t$

Этап 3.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$s + C_{4} = \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.2

Поскольку $- \frac{1}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- \frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.3

Пусть $u_{3} = 3 t$ . Тогда $d u_{3} = 3 d t$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{3} = d t$ . Перепишем, используя $u_{3}$ и $d$ $u_{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Пусть $u_{3} = 3 t$ . Найдем $\frac{d u_{3}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Дифференцируем $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 3.3.3.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 3.3.3.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 3.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{3}$ и $d u_{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) \frac{1}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.4

Объединим $\cos (u_{3})$ и $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{3})}{3} d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.5

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{3}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$s + C_{4} = - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{3}) d u_{3}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.6.2

Умножим $3$ на $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \int \cos (u_{3}) d u_{3} + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.7

Интеграл $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ имеет вид $\sin (u_{3})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.8

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.9

Пусть $u_{4} = 3 t$ . Тогда $d u_{4} = 3 d t$ , следовательно $\frac{1}{3} d u_{4} = d t$ . Перепишем, используя $u_{4}$ и $d$ $u_{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1

Пусть $u_{4} = 3 t$ . Найдем $\frac{d u_{4}}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.9.1.1

Дифференцируем $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Этап 3.3.9.1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $t$ , производная $3 t$ по $t$ равна $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Этап 3.3.9.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Этап 3.3.9.1.4

Умножим $3$ на $1$ .

$3$

Этап 3.3.9.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{4}$ и $d u_{4}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) \frac{1}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.10

Объединим $\sin (u_{4})$ и $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{4})}{3} d u_{4} + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.11

Поскольку $\frac{1}{3}$ — константа по отношению к $u_{4}$ , вынесем $\frac{1}{3}$ из-под знака интеграла.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{4}) d u_{4}) + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.12.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.12.2

Умножим $3$ на $3$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} \int \sin (u_{4}) d u_{4} + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.13

Интеграл $\sin (u_{4})$ по $u_{4}$ имеет вид $- \cos (u_{4})$ .

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + \int C_{3} d t$

Этап 3.3.14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} (\sin (u_{3}) + C_{5}) + \frac{1}{9} (- \cos (u_{4}) + C_{6}) + C_{3} t + C_{7}$

Этап 3.3.15

Упростим.

$s + C_{4} = - \frac{\sin (u_{3})}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Этап 3.3.16

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.16.1

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (u_{4})}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Этап 3.3.16.2

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $3 t$ .

$s + C_{4} = - \frac{\sin (3 t)}{9} - \frac{\cos (3 t)}{9} + C_{3} t + C_{8}$

Этап 3.3.17

Изменим порядок членов.

$s + C_{4} = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C_{3} t + C_{8}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$s = - \frac{1}{9} \sin (3 t) - \frac{1}{9} \cos (3 t) + C t + D$