Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{2}}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{4 y^{2}}{x}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{2})}{y^{2} x}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{2})}{y^{2} x}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{x}$

Этап 1.2.3

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{4}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{y} = 4 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим $4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{4}) + C$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 3.2.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 3.3

Каждый член в $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{4}) + C$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = \ln ({| x |}^{4}) + C$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = \ln ({| x |}^{4}) y + C y$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{4}) y + C y$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = \ln ({| x |}^{4}) y + C y$

Этап 3.3.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \ln ({| x |}^{4}) y + C y$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- 1 = \ln (x^{4}) y + C y$

Этап 3.3.3.2

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{4}) y + C y$ .

$- 1 = y \ln (x^{4}) + C y$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $y \ln (x^{4}) + C y = - 1$ .

$y \ln (x^{4}) + C y = - 1$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (x^{4}) + C y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (x^{4})$ .

$y (\ln (x^{4})) + C y = - 1$

Этап 3.4.2.2

Вынесем множитель $y$ из $C y$ .

$y (\ln (x^{4})) + y C = - 1$

Этап 3.4.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (\ln (x^{4})) + y C$ .

$y (\ln (x^{4}) + C) = - 1$

Этап 3.4.3

Разделим каждый член $y (\ln (x^{4}) + C) = - 1$ на $\ln (x^{4}) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Разделим каждый член $y (\ln (x^{4}) + C) = - 1$ на $\ln (x^{4}) + C$ .

$\frac{y (\ln (x^{4}) + C)}{\ln (x^{4}) + C} = \frac{- 1}{\ln (x^{4}) + C}$

Этап 3.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1

Сократим общий множитель $\ln (x^{4}) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (\ln (x^{4}) + C)}{\ln (x^{4}) + C} = \frac{- 1}{\ln (x^{4}) + C}$

Этап 3.4.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{\ln (x^{4}) + C}$

Этап 3.4.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{\ln (x^{4}) + C}$