Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 6 x - 3 x^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (6 x - 3 x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 6 x - 3 x^{2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 6 x - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 6 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $6$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$y + C_{1} = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $6$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$y + C_{1} = 3 x^{2} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.3

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 3 x^{2} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$y + C_{1} = 3 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = 3 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = 3 x^{2} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 3 x^{2} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.4.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y + C_{1} = 3 x^{2} - x^{3} + C_{4}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - x^{3} + 3 x^{2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - x^{3} + 3 x^{2} + K$