Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$ , $y (3) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} (\frac{5}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{y - 1}})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2} e^{y - 1}}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $e^{y - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $e^{y - 1}$ из ${(x + 2)}^{2} e^{y - 1}$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = e^{y - 1} \frac{5 \cdot 1}{e^{y - 1} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5 \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$e^{y - 1} \frac{d y}{d x} = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$e^{y - 1} d y = \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{y - 1} d y = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Тогда $d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = y - 1$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \int \frac{5}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{(x + 2)}^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Тогда $d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u_{2} = x + 2$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем ${u_{2}}^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2

Перемножим экспоненты в ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл ${u_{2}}^{- 2}$ по $u_{2}$ имеет вид $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $5 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ в виде $5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = 5 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - 5 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = \frac{- 5}{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{u_{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + 2$ .

$e^{y - 1} + C_{1} = - \frac{5}{x + 2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$e^{y - 1} = - \frac{5}{x + 2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{y - 1}) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Этап 3.2

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Развернем $\ln (e^{y - 1})$ , вынося $y - 1$ из логарифма.

$(y - 1) \ln (e) = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Этап 3.2.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$(y - 1) \cdot 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Этап 3.2.3

Умножим $y - 1$ на $1$ .

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\ln (\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Разобьем дробь $\frac{- 5 + K x + 2 K}{x + 2}$ на две дроби.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5 + K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Этап 3.3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Разобьем дробь $\frac{- 5 + K x}{x + 2}$ на две дроби.

$y - 1 = \ln (\frac{- 5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Этап 3.3.1.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - 1 = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2})$

Этап 3.4

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{2 K}{x + 2}) + 1$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $3$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ .

$1 = \ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$ .

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) + 1 = 1$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 1 - 1$

Этап 6.2.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$

Этап 6.3

Чтобы решить относительно $K$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2})} = e^{0}$

Этап 6.4

Перепишем $\ln (- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$

Этап 6.5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$ .

$- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2} = e^{0}$

Этап 6.5.2

Упростим $- \frac{5}{3 + 2} + \frac{K \cdot 3}{3 + 2} + \frac{K}{3 + 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5 + K \cdot 3 + K}{3 + 2} = e^{0}$

Этап 6.5.2.2

Перенесем $3$ влево от $K$ .

$\frac{- 5 + 3 K + K}{3 + 2} = e^{0}$

Этап 6.5.2.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.3.1

Добавим $3 K$ и $K$ .

$\frac{- 5 + 4 K}{3 + 2} = e^{0}$

Этап 6.5.2.3.2

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{- 5 + 4 K}{5} = e^{0}$

Этап 6.5.2.3.3

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$\frac{- 1 (5) + 4 K}{5} = e^{0}$

Этап 6.5.2.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $4 K$ .

$\frac{- 1 (5) - (- 4 K)}{5} = e^{0}$

Этап 6.5.2.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (- 4 K)$ .

$\frac{- 1 (5 - 4 K)}{5} = e^{0}$

Этап 6.5.2.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 - 4 K}{5} = e^{0}$

Этап 6.5.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{5 - 4 K}{5} = 1$

Этап 6.5.4

Умножим обе части уравнения на $- 5$ .

$- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5}) = - 5 \cdot 1$

Этап 6.5.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1.1

Упростим $- 5 (- \frac{5 - 4 K}{5})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1.1.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 - 4 K}{5}$ в числитель.

$- 5 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Этап 6.5.5.1.1.1.2

Вынесем множитель $5$ из $- 5$ .

$5 (- 1) \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Этап 6.5.5.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$5 \cdot - 1 \frac{- (5 - 4 K)}{5} = - 5 \cdot 1$

Этап 6.5.5.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

Этап 6.5.5.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (5 - 4 K) = - 5 \cdot 1$

Этап 6.5.5.1.1.2.2

Умножим $5 - 4 K$ на $1$ .

$5 - 4 K = - 5 \cdot 1$

Этап 6.5.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.2.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$5 - 4 K = - 5$

Этап 6.5.6

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.6.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 4 K = - 5 - 5$

Этап 6.5.6.2

Вычтем $5$ из $- 5$ .

$- 4 K = - 10$

Этап 6.5.7

Разделим каждый член $- 4 K = - 10$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.1

Разделим каждый член $- 4 K = - 10$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

Этап 6.5.7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 K}{- 4} = \frac{- 10}{- 4}$

Этап 6.5.7.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{- 10}{- 4}$

Этап 6.5.7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.3.1

Сократим общий множитель $- 10$ и $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.3.1.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 10$ .

$K = \frac{- 2 (5)}{- 4}$

Этап 6.5.7.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.7.3.1.2.1

Вынесем множитель $- 2$ из $- 4$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Этап 6.5.7.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$K = \frac{- 2 \cdot 5}{- 2 \cdot 2}$

Этап 6.5.7.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$K = \frac{5}{2}$

Этап 7

Подставим $\frac{5}{2}$ вместо $K$ в $y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{K x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $\frac{5}{2}$ вместо $K$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5}{2} x}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{\frac{5 x}{2}}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2} \cdot \frac{1}{x + 2} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.1.3

Умножим $\frac{5 x}{2}$ на $\frac{1}{x + 2}$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $- \frac{5}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (- \frac{5}{x + 2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(x + 2) \cdot 2$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Умножим $\frac{5}{x + 2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.3.2

Изменим порядок множителей в $(x + 2) \cdot 2$ .

$y = \ln (- \frac{5 \cdot 2}{2 (x + 2)} + \frac{5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \ln (\frac{- 5 \cdot 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.5

Умножим $- 5$ на $2$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.6

Вынесем множитель $5$ из $- 10 + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вынесем множитель $5$ из $- 10$ .

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.6.2

Вынесем множитель $5$ из $5 \cdot - 2 + 5 x$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2}) + 1$

Этап 7.2.7

Чтобы записать $\frac{K}{x + 2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K}{x + 2} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Этап 7.2.8

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $2 (x + 2)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Умножим $\frac{K}{x + 2}$ на $\frac{2}{2}$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{(x + 2) \cdot 2}) + 1$

Этап 7.2.8.2

Изменим порядок множителей в $(x + 2) \cdot 2$ .

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x)}{2 (x + 2)} + \frac{K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Этап 7.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \ln (\frac{5 (- 2 + x) + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Этап 7.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \ln (\frac{5 \cdot - 2 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Этап 7.2.10.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + K \cdot 2}{2 (x + 2)}) + 1$

Этап 7.2.10.3

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$y = \ln (\frac{- 10 + 5 x + 2 K}{2 (x + 2)}) + 1$