Математический анализ Примеры

$2 y - x \frac{d y}{d x} = 2 x^{3}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Изменим порядок членов.

$- x \frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x^{3}$

Этап 1.2

Разделим каждый член $- x \frac{d y}{d x} + 2 y = 2 x^{3}$ на $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{2 x^{3}}{- x}$

Этап 1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{2 x^{3}}{- x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{2 x^{3}}{- x}$

Этап 1.4.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{2 x^{3}}{- x}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{- x} = \frac{x (2 x^{2})}{- x}$

Этап 1.5.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{- x} = - 1 \cdot (2 x^{2})$

Этап 1.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{- x} = - 2 \cdot x^{2}$

Этап 1.7

Вынесем множитель $y$ из $\frac{2 y}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{- x} = - 2 \cdot x^{2}$

Этап 1.8

Изменим порядок $y$ и $\frac{2}{- x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{- x} y = - 2 \cdot x^{2}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{2}{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{- x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{2}{- x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Этап 2.2.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 2}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{- x} y) = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{- x} y) = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{2}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{2 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Этап 3.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Этап 3.2.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} (- 2 \cdot x^{2})$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = - 2 \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Этап 3.4

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}} x^{2}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{- 2}{x^{2}} x^{2}$

Этап 3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = - 2$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = - 2$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int - 2 d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int - 2 d x$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{x^{2}} y = - 2 x + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} = - 2 x + C$

Этап 8.2

Умножим обе части на $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- 2 x + C) x^{2}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- 2 x + C) x^{2}$

Этап 8.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- 2 x + C) x^{2}$

Этап 8.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Упростим $(- 2 x + C) x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 2 x \cdot x^{2} + C x^{2}$

Этап 8.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$y = - 2 (x^{2} x) + C x^{2}$

Этап 8.3.2.1.2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = - 2 (x^{2} x^{1}) + C x^{2}$

Этап 8.3.2.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = - 2 x^{2 + 1} + C x^{2}$

Этап 8.3.2.1.2.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y = - 2 x^{3} + C x^{2}$

Этап 8.3.2.1.3

Изменим порядок $- 2 x^{3}$ и $C x^{2}$ .

$y = C x^{2} - 2 x^{3}$