Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = - 5 t + \cos (t)$ , $s (0) = 5$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d s = (- 5 t + \cos (t)) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int - 5 t + \cos (t) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \int - 5 t + \cos (t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$s + C_{1} = \int - 5 t d t + \int \cos (t) d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 5$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = - 5 \int t d t + \int \cos (t) d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int \cos (t) d t$

Этап 2.3.4

Интеграл $\cos (t)$ по $t$ имеет вид $\sin (t)$ .

$s + C_{1} = - 5 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{2}$ .

$s + C_{1} = - 5 (\frac{t^{2}}{2} + C_{2}) + \sin (t) + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$s + C_{1} = \frac{- 5 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

Этап 2.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$s + C_{1} = - \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$s + C_{1} = - \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$s = - \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $t$ и $5$ вместо $s$ в $s = - \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ .

$5 = - \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 5$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K = 5$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $- \frac{5}{2} \cdot 0^{2} + \sin (0) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- \frac{5}{2} \cdot 0 + \sin (0) + K = 5$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $- \frac{5}{2} \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$0 (\frac{5}{2}) + \sin (0) + K = 5$

Этап 4.2.1.1.2.2

Умножим $0$ на $\frac{5}{2}$ .

$0 + \sin (0) + K = 5$

Этап 4.2.1.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + 0 + K = 5$

Этап 4.2.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + K = 5$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 5$

Этап 5

Подставим $5$ вместо $K$ в $s = - \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $5$ вместо $K$ .

$s = - \frac{5}{2} t^{2} + \sin (t) + 5$

Этап 5.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Объединим $t^{2}$ и $\frac{5}{2}$ .

$s = - \frac{t^{2} \cdot 5}{2} + \sin (t) + 5$

Этап 5.2.2

Перенесем $5$ влево от $t^{2}$ .

$s = - \frac{5 t^{2}}{2} + \sin (t) + 5$