Математический анализ Примеры

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + (\cos (x)) y = 5 \sin (x^{2})$

Этап 1

Проверим, является ли левая часть уравнения результатом дифференцирования члена $\sin (x) y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = y$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$\sin (x) y' + y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 1.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\sin (x) y' + y \cos (x)$

Этап 1.4

Подставим $\frac{d y}{d x}$ вместо $y'$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x)$

Этап 2

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = 5 \sin (x^{2})$

Этап 3

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Этап 4

Проинтегрируем левую часть.

$\sin (x) y = \int 5 \sin (x^{2}) d x$

Этап 5

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\sin (x) y = 5 \int \sin (x^{2}) d x$

Этап 5.2

$\int \sin (x^{2}) d x$ — особый интеграл. Интеграл представляет собой интегральную функцию Френеля.

$\sin (x) y = 5 (S (x) + C)$

Этап 5.3

Упростим.

$\sin (x) y = 5 S (x) + C$

Этап 6

Разделим каждый член $\sin (x) y = 5 S x + C$ на $\sin (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим каждый член $\sin (x) y = 5 S x + C$ на $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Этап 6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Разделим дроби.

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 6.3.1.2

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + \frac{C}{1} \csc (x)$

Этап 6.3.1.3

Разделим $C$ на $1$ .

$y = \frac{5 S x}{\sin (x)} + C \csc (x)$