Математический анализ Примеры

$\frac{d u}{d x} = 7 x^{6} - 3 x^{2} + 8$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d u = (7 x^{6} - 3 x^{2} + 8) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d u = \int 7 x^{6} - 3 x^{2} + 8 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C_{1} = \int 7 x^{6} - 3 x^{2} + 8 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$u + C_{1} = \int 7 x^{6} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$u + C_{1} = 7 \int x^{6} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$u + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$u + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 8 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$u + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 8 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C_{1} = 7 (\frac{1}{7} x^{7} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 8 x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{7}$ .

$u + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 8 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$u + C_{1} = 7 (\frac{x^{7}}{7} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 8 x + C_{4}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

$u + C_{1} = x^{7} - x^{3} + 8 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$u = x^{7} - x^{3} + 8 x + K$