Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 1 + \frac{1}{x}$ , $y (1) = 4$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (1 + \frac{1}{x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 1 + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = x + C_{2} + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = x + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $4$ вместо $y$ в $y = x + \ln (| x |) + C$ .

$4 = 1 + \ln (| 1 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $1 + \ln (| 1 |) + C = 4$ .

$1 + \ln (| 1 |) + C = 4$

Этап 4.2

Упростим $1 + \ln (| 1 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$1 + \ln (1) + C = 4$

Этап 4.2.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$1 + 0 + C = 4$

Этап 4.2.2

Добавим $1$ и $0$ .

$1 + C = 4$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$C = 4 - 1$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$C = 3$

Этап 5

Подставим $3$ вместо $C$ в $y = x + \ln (| x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $3$ вместо $C$ .

$y = x + \ln (| x |) + 3$