Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = 4 - 0.2 x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{4 - 0.2 x}$ .

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $4 - 0.2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{4 - 0.2 x} (4 - 0.2 x)$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} \frac{d x}{d t} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{4 - 0.2 x} d x = 1 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{4 - 0.2 x} d x = \int d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 4 - 0.2 x$ . Тогда $d u = - 0.2 d x$ , следовательно $\frac{1}{- 0.2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 4 - 0.2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 0.2}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 0.2$ на $1$ .

$- 0.2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 5}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{5}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{5}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$- (5 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Этап 2.2.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Этап 2.2.7

Упростим.

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $4 - 0.2 x$ .

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = \int d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) + C_{1} = t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ на $- 5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |) = t + C$ на $- 5$ .

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 5 \ln (| 4 - 0.2 x |)}{- 5} = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| 4 - 0.2 x |)$ на $1$ .

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = \frac{t}{- 5} + \frac{C}{- 5}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} + \frac{C}{- 5}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 4 - 0.2 x |)} = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 4 - 0.2 x |) = - \frac{t}{5} - \frac{C}{5}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} = | 4 - 0.2 x |$

Этап 3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$ .

$| 4 - 0.2 x | = e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$4 - 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}$

Этап 3.4.3

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ на $- 0.2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- 0.2 x = \pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}} - 4$ на $- 0.2$ .

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Сократим общий множитель $- 0.2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 0.2 x}{- 0.2} = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\pm e^{- \frac{t}{5} - \frac{C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Упростим $\frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{- 0.2}$ .

$x = \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Умножим на $1$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.3.1.4

Вынесем множитель $0.2$ из $0.2$ .

$x = \frac{1 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}})}{0.2 (1)} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.3.1.5

Разделим дроби.

$x = \frac{1}{0.2} \cdot \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.3.1.6

Разделим $1$ на $0.2$ .

$x = 5 \frac{\pm e^{\frac{- t - C}{5}}}{1} + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.3.1.7

Разделим $\pm e^{\frac{- t - C}{5}}$ на $1$ .

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + \frac{- 4}{- 0.2}$

Этап 3.4.4.3.1.8

Разделим $- 4$ на $- 0.2$ .

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t - C}{5}}) + 20$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$x = 5 (\pm e^{\frac{- t + C}{5}}) + 20$