Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = 4 (x^{2} + 1)$ ; given $x (\frac{π}{4}) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + 1} (4 (x^{2} + 1))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4 \frac{1}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = \frac{4}{x^{2} + 1} (x^{2} + 1)$

Этап 1.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d x}{d t} = 4$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{x^{2} + 1} d x = 4 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{x^{2} + 1} d x = \int 4 d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Изменим порядок $x^{2}$ и $1$ .

$\int \frac{1}{1 + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Этап 2.2.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x = \int 4 d t$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\arctan (x) + C_{1}$ .

$\arctan (x) + C_{1} = \int 4 d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\arctan (x) + C_{1} = 4 t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arctan (x) = 4 t + K$

Этап 3

Возьмем обратную арктангенса обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из арктангенса.

$x = \tan (4 t + K)$

Этап 4

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $\frac{π}{4}$ вместо $t$ и $1$ вместо $x$ в $x = \tan (4 t + K)$ .

$1 = \tan (4 \frac{π}{4} + K)$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$ .

$\tan (4 (\frac{π}{4}) + K) = 1$

Этап 5.2

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $K$ из тангенса.

$4 (\frac{π}{4}) + K = \arctan (1)$

Этап 5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{π}{4} + K = \arctan (1)$

Этап 5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$π + K = \arctan (1)$

Этап 5.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$π + K = \frac{π}{4}$

Этап 5.5

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$K = \frac{π}{4} - π$

Этап 5.5.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.5.3

Объединим $- π$ и $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Этап 5.5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{π - π \cdot 4}{4}$

Этап 5.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$K = \frac{π - 4 π}{4}$

Этап 5.5.5.2

Вычтем $4 π$ из $π$ .

$K = \frac{- 3 π}{4}$

Этап 5.5.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{3 π}{4}$

Этап 5.6

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$π + K = π + \frac{π}{4}$

Этап 5.7

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π + K = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.7.1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$π + K = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 5.7.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$π + K = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 5.7.1.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$π + K = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 5.7.1.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$π + K = \frac{5 π}{4}$

Этап 5.7.2

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$K = \frac{5 π}{4} - π$

Этап 5.7.2.2

Чтобы записать $- π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} - π \cdot \frac{4}{4}$

Этап 5.7.2.3

Объединим $- π$ и $\frac{4}{4}$ .

$K = \frac{5 π}{4} + \frac{- π \cdot 4}{4}$

Этап 5.7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{5 π - π \cdot 4}{4}$

Этап 5.7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.5.1

Умножим $4$ на $- 1$ .

$K = \frac{5 π - 4 π}{4}$

Этап 5.7.2.5.2

Вычтем $4 π$ из $5 π$ .

$K = \frac{π}{4}$

Этап 5.8

Найдем период $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 5.8.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 5.8.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 5.8.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 5.9

Добавим $π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Добавим $π$ к $- \frac{3 π}{4}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{3 π}{4} + π$

Этап 5.9.2

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 5.9.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.3.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Этап 5.9.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Этап 5.9.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.4.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$\frac{4 \cdot π - 3 π}{4}$

Этап 5.9.4.2

Вычтем $3 π$ из $4 π$ .

$\frac{π}{4}$

Этап 5.9.5

Перечислим новые углы.

$K = \frac{π}{4}$

Этап 5.10

Период функции $\tan (4 (\frac{π}{4}) + K)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$K = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 5.11

Объединим ответы.

$K = \frac{π}{4} + π n$

Этап 6

Подставим $\frac{π}{4} + π n$ вместо $K$ в $x = \tan (4 t + K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $\frac{π}{4} + π n$ вместо $K$ .

$x = \tan (4 t + \frac{π}{4} + π n)$