Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} = x \cos (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Добавим $\frac{1}{x}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d x} = x \cos (x) + \frac{1}{x}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (x \cos (x) + \frac{1}{x}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) + \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x \cos (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - \int \sin (x) d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}) + \ln (| x |) + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \cos (x) + \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.3.6

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = x \sin (x) + \ln (| x |) + \cos (x) + C$