Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + (a x + b) y = 0$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = a x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int a x + b d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $a x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$e^{\int a x d x + \int b d x}$

Этап 1.2.2

Поскольку $a$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $a$ из-под знака интеграла.

$e^{a \int x d x + \int b d x}$

Этап 1.2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int b d x}$

Этап 1.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{a (\frac{1}{2} x^{2} + C) + b x + C}$

Этап 1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{a (\frac{x^{2}}{2} + C) + b x + C}$

Этап 1.2.5.2

Упростим.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\frac{1}{2} a x^{2} + b x}$

Этап 1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $a$ .

$e^{\frac{a}{2} x^{2} + b x}$

Этап 1.4.2

Объединим $\frac{a}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} ((a x + b) y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Этап 2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y + b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \cdot 0$

Этап 2.3

Умножим $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ на $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (a x y) + e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} (b y) = 0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} \frac{d y}{d x} + a x y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} + b y e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} = 0$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] = 0$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y] d x = \int 0 d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = \int 0 d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Интеграл $0$ по $x$ имеет вид $0$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = 0 + C$

Этап 6.2

Добавим $0$ и $C$ .

$e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ на $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y = C$ на $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x} y}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}} = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Чтобы записать $b x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + b x \cdot \frac{2}{2}}}$

Этап 7.3.1.2

Объединим $b x$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2}}{2} + \frac{b x \cdot 2}{2}}}$

Этап 7.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{C}{e^{\frac{a x^{2} + b x \cdot 2}{2}}}$

Этап 7.3.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $a x^{2} + b x \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.4.1.1

Вынесем множитель $x$ из $a x^{2}$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + b x \cdot 2}{2}}}$

Этап 7.3.1.4.1.2

Вынесем множитель $x$ из $b x \cdot 2$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x) + x (b \cdot 2)}{2}}}$

Этап 7.3.1.4.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (a x) + x (b \cdot 2)$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + b \cdot 2)}{2}}}$

Этап 7.3.1.4.2

Перенесем $2$ влево от $b$ .

$y = \frac{C}{e^{\frac{x (a x + 2 b)}{2}}}$