Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x + 3$ , $y (1) = 4$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (x^{2} - 2 x + 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int x^{2} - 2 x + 3 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 3 d x$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 3 x + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Этап 2.3.6.3

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 3 x + C_{5}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $4$ вместо $y$ в $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ .

$4 = - 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$ .

$- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Этап 4.2

Упростим $- 1^{2} + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 \cdot 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Этап 4.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 1 + \frac{1}{3} \cdot 1 + 3 \cdot 1 + K = 4$

Этап 4.2.1.4

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 \cdot 1 + K = 4$

Этап 4.2.1.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- 1 + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Этап 4.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3} + 3 + K = 4$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 1 \cdot 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- 3 + 1}{3} + 3 + K = 4$

Этап 4.2.5.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$\frac{- 2}{3} + 3 + K = 4$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{3} + 3 + K = 4$

Этап 4.2.7

Чтобы записать $3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3} + K = 4$

Этап 4.2.8

Объединим $3$ и $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Этап 4.2.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 2 + 3 \cdot 3}{3} + K = 4$

Этап 4.2.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.10.1

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{- 2 + 9}{3} + K = 4$

Этап 4.2.10.2

Добавим $- 2$ и $9$ .

$\frac{7}{3} + K = 4$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{7}{3}$ из обеих частей уравнения.

$K = 4 - \frac{7}{3}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$K = 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Этап 4.3.3

Объединим $4$ и $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{7}{3}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{4 \cdot 3 - 7}{3}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $4$ на $3$ .

$K = \frac{12 - 7}{3}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $7$ из $12$ .

$K = \frac{5}{3}$

Этап 5

Подставим $\frac{5}{3}$ вместо $K$ в $y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{5}{3}$ вместо $K$ .

$y = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 3 x + \frac{5}{3}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y = - x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + 3 x + \frac{5}{3}$