Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{8 y^{7}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{7}$ .

$y^{7} \frac{d y}{d x} = y^{7} \frac{1}{8 y^{7}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{7}$ из $8 y^{7}$ .

$y^{7} \frac{d y}{d x} = y^{7} \frac{1}{y^{7} \cdot 8}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y^{7} \frac{d y}{d x} = y^{7} \frac{1}{y^{7} \cdot 8}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y^{7} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{8}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{7} d y = \frac{1}{8} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{7} d y = \int \frac{1}{8} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{7}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{8} y^{8}$ .

$\frac{1}{8} y^{8} + C_{1} = \int \frac{1}{8} d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{8} y^{8} + C_{1} = \frac{1}{8} x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{8} y^{8} = \frac{1}{8} x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $8$ .

$8 (\frac{1}{8} y^{8}) = 8 (\frac{1}{8} x + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $8 (\frac{1}{8} y^{8})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $y^{8}$ .

$8 \frac{y^{8}}{8} = 8 (\frac{1}{8} x + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$8 \frac{y^{8}}{8} = 8 (\frac{1}{8} x + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{8} = 8 (\frac{1}{8} x + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $8 (\frac{1}{8} x + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x$ .

$y^{8} = 8 (\frac{x}{8} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{8} = 8 \frac{x}{8} + 8 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{8} = 8 \frac{x}{8} + 8 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{8} = x + 8 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[8]{x + 8 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt[8]{x + 8 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt[8]{x + 8 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt[8]{x + 8 K}$

$y = - \sqrt[8]{x + 8 K}$

$y = \sqrt[8]{x + 8 K}$

$y = - \sqrt[8]{x + 8 K}$

$y = \sqrt[8]{x + 8 K}$

$y = - \sqrt[8]{x + 8 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[8]{x + K}$

$y = - \sqrt[8]{x + K}$