Математический анализ Примеры

$(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 15 x y^{2} - 12 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2} - 12 y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $15 x y^{2} - 12 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [15 x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [15 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $15 x$ является константой относительно $y$ , производная $15 x y^{2}$ по $y$ равна $15 x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 15 x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $15$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y + \frac{d}{d y} [- 12 y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- 12 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $y$ , производная $- 12 y$ по $y$ равна $- 12 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12 \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 30 x y - 12$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 10 x^{2} y - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y - 6 x]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $10 x^{2} y - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [10 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $10 y$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{2} y$ по $x$ равна $10 y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 10 y (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x + \frac{d}{d x} [- 6 x]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6 \cdot 1$

Этап 2.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 y x - 6$

Этап 2.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 20 x y - 6$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $30 x y - 12$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $20 x y - 6$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$30 x y - 12 = 20 x y - 6$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $30 x y - 12$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{30 x y - 12 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $20 x y - 6$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $10 x^{2} y - 6 x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $10 x^{2} y - 6 x$ вместо $N$ .

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y - 6)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{30 x y - 12 - (20 x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $20$ на $- 1$ .

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) - - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$\frac{30 x y - 12 - 20 (x y) + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $20 x y$ из $30 x y$ .

$\frac{10 x y - 12 + 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Этап 4.3.2.5

Добавим $- 12$ и $6$ .

$\frac{10 x y - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Этап 4.3.2.6

Вынесем множитель $2$ из $10 x y - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $10 x y$ .

$\frac{2 (5 x y) - 6}{10 x^{2} y - 6 x}$

Этап 4.3.2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$\frac{2 (5 x y) + 2 (- 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Этап 4.3.2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (5 x y) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{10 x^{2} y - 6 x}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $10 x^{2} y - 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $2 x$ из $10 x^{2} y$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) - 6 x}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 x$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y) + 2 x (- 3)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (5 x y) + 2 x (- 3)$ .

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 x y - 3)}{2 x (5 x y - 3)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $5 x y - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x y - 3}{x (5 x y - 3)}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | x | + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(15 x y^{2} - 12 y) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $15 x y^{2} - 12 y$ на $x$ .

$(15 x y^{2} - 12 y) x d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(15 x y^{2} x - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $x$ .

$(15 (x \cdot x) y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Этап 6.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $10 x^{2} y - 6 x$ на $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y - 6 x) x d y = 0$

Этап 6.5

Применим свойство дистрибутивности.

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{2} y x - 6 x \cdot x) d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перенесем $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x \cdot x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Этап 6.6.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 (x^{1} x^{2}) y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Этап 6.6.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{1 + 2} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Этап 6.6.3

Добавим $1$ и $2$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x \cdot x) d y = 0$

Этап 6.7

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Перенесем $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 (x \cdot x)) d y = 0$

Этап 6.7.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(15 x^{2} y^{2} - 12 y x) d x + (10 x^{3} y - 6 x^{2}) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} - 12 y x d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = 15 x^{2} y^{2} - 12 y x$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 15 x^{2} y^{2} d x + \int - 12 y x d x$

Этап 8.2

Поскольку $15 y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $15 y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 15 y^{2} \int x^{2} d x + \int - 12 y x d x$

Этап 8.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 12 y x d x$

Этап 8.4

Поскольку $- 12 y$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12 y$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y \int x d x$

Этап 8.5

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 15 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 12 y (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 8.6

Упростим.

$f (x, y) = 15 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Объединим $15$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{15}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.2

Сократим общий множитель $15$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 (1)} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{5}{1} y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.2.2.4

Разделим $5$ на $1$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Этап 8.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 12 y \frac{x^{2}}{2} + C$

Этап 8.7.4

Объединим $- 12$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y \frac{- 12 x^{2}}{2} + C$

Этап 8.7.5

Объединим $y$ и $\frac{- 12 x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 12 x^{2})}{2} + C$

Этап 8.7.6

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.6.1

Вынесем множитель $2$ из $y (- 12 x^{2})$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2} + C$

Этап 8.7.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.6.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 (1)} + C$

Этап 8.7.6.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{2 (y (- 6 x^{2}))}{2 \cdot 1} + C$

Этап 8.7.6.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + \frac{y (- 6 x^{2})}{1} + C$

Этап 8.7.6.2.4

Разделим $y (- 6 x^{2})$ на $1$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [5 y^{2} x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $5 x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $5 y^{2} x^{3}$ по $y$ равна $5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$5 x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11.3.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x^{3} y + \frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y (- 6 x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Поскольку $- 6 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $y (- 6 x^{2})$ по $y$ равна $- 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11.4.3

Умножим $- 6$ на $1$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$10 x^{3} y - 6 x^{2} + \frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 11.6

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} - 6 x^{2} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Добавим $6 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d y} + 10 x^{3} y = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2}$

Этап 12.1.2

Вычтем $10 x^{3} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$

Этап 12.1.3

Объединим противоположные члены в $10 x^{3} y - 6 x^{2} + 6 x^{2} - 10 x^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Добавим $- 6 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y + 0 - 10 x^{3} y$

Этап 12.1.3.2

Добавим $10 x^{3} y$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 10 x^{3} y - 10 x^{3} y$

Этап 12.1.3.3

Вычтем $10 x^{3} y$ из $10 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} + y (- 6 x^{2}) + C$

Этап 15

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f (x, y) = 5 y^{2} x^{3} - 6 y x^{2} + C$