Математический анализ Примеры

$4 x + \frac{d y}{d x} = 36 x^{5} + 12$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $4 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = 36 x^{5} + 12 - 4 x$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = (36 x^{5} + 12 - 4 x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 36 x^{5} + 12 - 4 x d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 36 x^{5} + 12 - 4 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 36 x^{5} d x + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $36$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $36$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 36 \int x^{5} d x + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + \int 12 d x + \int - 4 x d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 36 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} + \int - 4 x d x$

Этап 2.3.5

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} + \int - 4 x d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 \int x d x$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Этап 2.3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 36 (\frac{x^{6}}{6} + C_{2}) + 12 x + C_{3} - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4})$

Этап 2.3.8.2

Упростим.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x - 4 \frac{x^{2}}{2} + C_{5}$

Этап 2.3.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.3.1

Объединим $- 4$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C_{5}$

Этап 2.3.8.3.2

Сократим общий множитель $- 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x^{2}$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C_{5}$

Этап 2.3.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C_{5}$

Этап 2.3.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C_{5}$

Этап 2.3.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C_{5}$

Этап 2.3.8.3.2.2.4

Разделим $- 2 x^{2}$ на $1$ .

$y + C_{1} = 6 x^{6} + 12 x - 2 x^{2} + C_{5}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = 6 x^{6} - 2 x^{2} + 12 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 6 x^{6} - 2 x^{2} + 12 x + K$