Математический анализ Примеры

$\frac{d f}{d x} = 35 x \sqrt{5 x^{2} + 4}$ , $f (0) = 15$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d f = 35 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d f = \int 35 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f + C_{1} = \int 35 x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $35$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $35$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 35 \int x \sqrt{5 x^{2} + 4} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 5 x^{2} + 4$ . Тогда $d u = 10 x d x$ , следовательно $\frac{1}{10} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 5 x^{2} + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $5 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} + 4]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 x + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $10 x$ и $0$ .

$10 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$f + C_{1} = 35 \int \sqrt{u} \frac{1}{10} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{10}$ .

$f + C_{1} = 35 \int \frac{\sqrt{u}}{10} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{10}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{10}$ из-под знака интеграла.

$f + C_{1} = 35 (\frac{1}{10} \int \sqrt{u} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Объединим $\frac{1}{10}$ и $35$ .

$f + C_{1} = \frac{35}{10} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.1.2

Сократим общий множитель $35$ и $10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.1

Вынесем множитель $5$ из $35$ .

$f + C_{1} = \frac{5 (7)}{10} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.2.2.1

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f + C_{1} = \frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f + C_{1} = \frac{7}{2} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{7}{2} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$f + C_{1} = \frac{7}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $\frac{7}{2} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{7}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$f + C_{1} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Умножим $\frac{7}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$f + C_{1} = \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Умножим $7$ на $2$ .

$f + C_{1} = \frac{14}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f + C_{1} = \frac{14}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.4

Сократим общий множитель $14$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$f + C_{1} = \frac{2 (7)}{6} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f + C_{1} = \frac{7}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2} + 4$ .

$f + C_{1} = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$f = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $15$ вместо $f$ в $f = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$15 = \frac{7}{3} {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{7}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 15$ .

$\frac{7}{3} \cdot {(5 \cdot 0^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{7}{3} \cdot {(5 \cdot 0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Этап 4.2.1.2

Умножим $5$ на $0$ .

$\frac{7}{3} \cdot {(0 + 4)}^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Этап 4.2.2

Добавим $0$ и $4$ .

$\frac{7}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Этап 4.2.3

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{7}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = 15$

Этап 4.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 15$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{7}{3} \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})} + K = 15$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{7}{3} \cdot 2^{3} + K = 15$

Этап 4.2.6

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{7}{3} \cdot 8 + K = 15$

Этап 4.2.7

Умножим $\frac{7}{3} \cdot 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Объединим $\frac{7}{3}$ и $8$ .

$\frac{7 \cdot 8}{3} + K = 15$

Этап 4.2.7.2

Умножим $7$ на $8$ .

$\frac{56}{3} + K = 15$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{56}{3}$ из обеих частей уравнения.

$K = 15 - \frac{56}{3}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $15$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$K = 15 \cdot \frac{3}{3} - \frac{56}{3}$

Этап 4.3.3

Объединим $15$ и $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{15 \cdot 3}{3} - \frac{56}{3}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{15 \cdot 3 - 56}{3}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $15$ на $3$ .

$K = \frac{45 - 56}{3}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $56$ из $45$ .

$K = \frac{- 11}{3}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{11}{3}$

Этап 5

Подставим $- \frac{11}{3}$ вместо $K$ в $f = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{11}{3}$ вместо $K$ .

$f = \frac{7}{3} {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - \frac{11}{3}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{7}{3}$ и ${(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f = \frac{7 {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{11}{3}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$f = \frac{7 {(5 x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} - 11}{3}$