Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 3) \frac{d y}{d x} - x = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} - x = 0$

Этап 1.1.2

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x} + 3 \frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $x^{2} \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + 3 \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.1.3.2

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $3 \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3 = x$

Этап 1.1.3.3

Вынесем множитель $\frac{d y}{d x}$ из $\frac{d y}{d x} x^{2} + \frac{d y}{d x} \cdot 3$ .

$\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$

Этап 1.1.4

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ на $x^{2} + 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Разделим каждый член $\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3) = x$ на $x^{2} + 3$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Этап 1.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x^{2} + 3)}{x^{2} + 3} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Этап 1.1.4.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 3}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = x^{2} + 3$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = x^{2} + 3$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 3]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 3$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 3 |) + C$