Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x \sqrt{4 - y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (2 x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 2$ и $b = y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ на $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 (\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}} \cdot \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}) (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ на $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{\sqrt{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.2

Возведем $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.3

Возведем $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ в виде $(2 + y) (2 - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ в виде ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{{((2 + y) (2 - y))}^{1}} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.4.6.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.5

Объединим $2$ и $\frac{\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{4 - y^{2}})$

Этап 1.2.6

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{2^{2} - y^{2}})$

Этап 1.2.7

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$

Этап 1.2.8

Умножим $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)} (x \sqrt{(2 + y) (2 - y)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Объединим $x$ и $\frac{2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.8.2

Объединим $\frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)})}{(2 + y) (2 - y)}$ и $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \sqrt{(2 + y) (2 - y)}) \sqrt{(2 + y) (2 - y)}}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.8.3

Возведем $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} \sqrt{(2 + y) (2 - y)}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.8.4

Возведем $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 ({\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1} {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1}))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.8.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{1 + 1})}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.8.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (2 {\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Перепишем ${\sqrt{(2 + y) (2 - y)}}^{2}$ в виде $(2 + y) (2 - y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(2 + y) (2 - y)}$ в виде ${((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {({((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{\frac{2}{2}}}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 {((2 + y) (2 - y))}^{1}}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.1.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 ((2 + y) (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.2

Развернем $(2 + y) (2 - y)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 (2 - y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y (2 - y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 \cdot 2 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.3.1.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 2 (- y) + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.3.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + y \cdot 2 + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.3.1.3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 \cdot y + y (- y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y \cdot y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.3.1.5

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.3.1.5.1

Перенесем $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - (y \cdot y))}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.3.1.5.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - 2 y + 2 y - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.3.2

Добавим $- 2 y$ и $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 + 0 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.3.3

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (4 - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.4

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2^{2} - y^{2})}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.9.5

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.10

Сократим общий множитель $2 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 + y) (2 - y)}{(2 + y) (2 - y)}$

Этап 1.2.10.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Этап 1.2.11

Сократим общий множитель $2 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 2 (2 - y)}{2 - y}$

Этап 1.2.11.2

Разделим $x \cdot 2$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 2$

Этап 1.2.12

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = 2 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{4 - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}} d y = \int 2 x d x$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{\sqrt{2^{2} - y^{2}}}$ по $y$ имеет вид $\arcsin (\frac{y}{2})$ .

$\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.2.3

Перепишем $\arcsin (\frac{y}{2}) + C_{1}$ в виде $\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \int 2 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.3

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\arcsin (\frac{1}{2} y) = x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возьмем обратный арксинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из арксинуса.

$\frac{1}{2} y = \sin (x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y$ .

$\frac{y}{2} = \sin (x^{2} + K)$

Этап 3.3

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Этап 3.4

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y}{2} = 2 \sin (x^{2} + K)$

Этап 3.4.1.2

Перепишем это выражение.

$y = 2 \sin (x^{2} + K)$