Математический анализ Примеры

$\frac{d x}{d t} = \frac{9}{x}$ , $x (0) = 9$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $x$ .

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d x}{d t} = x \frac{9}{x}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d x}{d t} = 9$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$x d x = 9 d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int x d x = \int 9 d t$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = \int 9 d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C_{1} = 9 t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} x^{2} = 9 t + K$

Этап 3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2}) = 2 (9 t + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x^{2}}{2} = 2 (9 t + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$x^{2} = 2 (9 t + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (9 t + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} = 2 (9 t) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $9$ на $2$ .

$x^{2} = 18 t + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{18 t + 2 K}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $18 t + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $18 t$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t) + 2 K}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (9 t) + 2 K$ .

$x = \pm \sqrt{2 (9 t + K)}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = \sqrt{2 (9 t + K)}$

$x = - \sqrt{2 (9 t + K)}$

Этап 4

Так как $x$ принимает положительные значения при начальном условии $(0, 9)$ , рассмотрим $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $0$ вместо $t$ , а $9$ вместо $x$ .

$9 = \sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$

Этап 5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$ .

$\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)} = 9$

Этап 5.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}}^{2} = 9^{2}$

Этап 5.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (9 \cdot 0 + K)}$ в виде ${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 9^{2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Упростим ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 9^{2}$

Этап 5.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 (9 \cdot 0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Этап 5.3.2.1.2

Умножим $9$ на $0$ .

${(2 (0 + K))}^{1} = 9^{2}$

Этап 5.3.2.1.3

Добавим $0$ и $K$ .

${(2 K)}^{1} = 9^{2}$

Этап 5.3.2.1.4

Упростим.

$2 K = 9^{2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Возведем $9$ в степень $2$ .

$2 K = 81$

Этап 5.4

Разделим каждый член $2 K = 81$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $2 K = 81$ на $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 K}{2} = \frac{81}{2}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{81}{2}$

Этап 6

Подставим $\frac{81}{2}$ вместо $K$ в $x = \sqrt{2 (9 t + K)}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Подставим $\frac{81}{2}$ вместо $K$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + \frac{81}{2})}$

Этап 6.2

Вынесем множитель $9$ из $9 t + \frac{81}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $9$ из $9 t$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t) + \frac{81}{2})}$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $9$ из $\frac{81}{2}$ .

$x = \sqrt{2 (9 t + 9 (\frac{9}{2}))}$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $9$ из $9 t + 9 (\frac{9}{2})$ .

$x = \sqrt{2 (9 (t + \frac{9}{2}))}$

$x = \sqrt{2 \cdot 9 (t + \frac{9}{2})}$

Этап 6.3

Умножим $2$ на $9$ .

$x = \sqrt{18 (t + \frac{9}{2})}$

Этап 6.4

Чтобы записать $t$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (t \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2})}$

Этап 6.5

Объединим $t$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \sqrt{18 (\frac{t \cdot 2}{2} + \frac{9}{2})}$

Этап 6.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \sqrt{18 \frac{t \cdot 2 + 9}{2}}$

Этап 6.7

Перенесем $2$ влево от $t$ .

$x = \sqrt{18 \frac{2 t + 9}{2}}$

Этап 6.8

Объединим $18$ и $\frac{2 t + 9}{2}$ .

$x = \sqrt{\frac{18 (2 t + 9)}{2}}$

Этап 6.9

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Сократим выражение $\frac{18 (2 t + 9)}{2}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1.1

Вынесем множитель $2$ из $18 (2 t + 9)$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2}}$

Этап 6.9.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 (1)}}$

Этап 6.9.1.3

Сократим общий множитель.

$x = \sqrt{\frac{2 (9 (2 t + 9))}{2 \cdot 1}}$

Этап 6.9.1.4

Перепишем это выражение.

$x = \sqrt{\frac{9 (2 t + 9)}{1}}$

Этап 6.9.2

Разделим $9 (2 t + 9)$ на $1$ .

$x = \sqrt{9 (2 t + 9)}$

Этап 6.10

Перепишем $9 (2 t + 9)$ в виде $3^{2} (2 t + 3^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.10.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 9)}$

Этап 6.10.2

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$x = \sqrt{3^{2} (2 t + 3^{2})}$

Этап 6.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = 3 \sqrt{2 t + 3^{2}}$

Этап 6.12

Возведем $3$ в степень $2$ .

$x = 3 \sqrt{2 t + 9}$