Математический анализ Примеры

$(2 y - 3 x) d x + x d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 y - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y - 3 x]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 y - 3 x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + \frac{d}{d y} [- 3 x]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $- 3 x$ является константой относительно $y$ , производная $- 3 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 = 1$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$2 = 1$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{2 - 1}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x$ вместо $N$ .

$\frac{2 - 1}{x}$

Этап 4.3.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | x | + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(2 y - 3 x) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $2 y - 3 x$ на $x$ .

$(2 y - 3 x) x d x + x d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 y x - 3 x \cdot x) d x + x d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Перенесем $x$ .

$(2 y x - 3 (x \cdot x)) d x + x d y = 0$

Этап 6.3.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 y x - 3 x^{2}) d x + x d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 y x - 3 x^{2}) d x + x \cdot x d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 y x - 3 x^{2}) d x + x^{2} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{2}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x^{2} y + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y x - 3 x^{2}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $x^{2} y + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

Этап 11.3.3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y x - 3 x^{2}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y x - 3 x^{2}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y x - 3 x^{2}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 y x - 3 x^{2} - 2 x y$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $2 y x - 3 x^{2} - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $2 y x$ и $- 2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x y - 3 x^{2} - 2 x y$

Этап 12.1.2.2

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{2} + 0$

Этап 12.1.2.3

Добавим $- 3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{2}$

Этап 13

Найдем первообразную $- 3 x^{2}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = - 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 3 x^{2} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 3 x^{2} d x$

Этап 13.3

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$g (x) = - 3 \int x^{2} d x$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $- 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $- 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{- 3}{3} x^{3} + C$

Этап 13.5.2.2

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C$

Этап 13.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$g (x) = \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C$

Этап 13.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C$

Этап 13.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{3} + C$

Этап 13.5.2.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$g (x) = - x^{3} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y - x^{3} + C$