Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ на $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{x^{2} + y^{2}}{x y - x^{2}}$ на $\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \frac{1}{x^{2}} + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{2} \frac{1}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.5

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{(x y - x^{2}) \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.7

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x^{2}} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.7.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x (y) \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{x y \frac{1}{x \cdot x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{y \frac{1}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.8

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - x^{2} \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.9

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.9.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.9.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} + x^{2} \cdot - 1 \frac{1}{x^{2}}}$

Этап 1.9.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + \frac{y^{2}}{x^{2}}}{\frac{y}{x} - 1}$

Этап 1.10

Используем правило частного степеней $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}}{\frac{y}{x} - 1}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1 + V^{2}}{V - 1}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Перенесем все члены без $\frac{d V}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2}}{V - 1} - V$

Этап 6.1.1.1.2

Разобьем дробь $\frac{1 + V^{2}}{V - 1}$ на две дроби.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} - V$

Этап 6.1.1.1.3

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.3.1

Запишем $- V$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1}$

Этап 6.1.1.1.3.2

Умножим $\frac{- V}{1}$ на $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V}{1} \cdot \frac{V - 1}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.3.3

Умножим $\frac{- V}{1}$ на $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V^{2}}{V - 1} + \frac{- V (V - 1)}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V (V - 1)}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V \cdot V - V \cdot - 1}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.5.2

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.5.2.1

Перенесем $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - (V \cdot V) - V \cdot - 1}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.5.2.2

Умножим $V$ на $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} - V \cdot - 1}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.5.3

Умножим $- V \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.5.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + 1 V}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.5.3.2

Умножим $V$ на $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V^{2} - V^{2} + V}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.6

Объединим противоположные члены в $1 + V^{2} - V^{2} + V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.6.1

Вычтем $V^{2}$ из $V^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + 0 + V}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.6.2

Добавим $1$ и $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1}$

Этап 6.1.1.1.7

Разобьем дробь $\frac{1 + V}{V - 1}$ на две дроби.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$

Этап 6.1.1.2

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Этап 6.1.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1}}{x} + \frac{\frac{V}{V - 1}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1}{V - 1} + \frac{V}{V - 1}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{1 + V}{V - 1}}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.2.3.4

Умножим $\frac{1 + V}{V - 1}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Этап 6.1.1.2.3.5

Изменим порядок множителей в $\frac{1 + V}{(V - 1) x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{x (V - 1)}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = \frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{V - 1}{1 + V}$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} (\frac{1 + V}{V - 1} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Умножим $\frac{1 + V}{V - 1}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Этап 6.1.4.2

Сократим общий множитель $V - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Вынесем множитель $V - 1$ из $(V - 1) x$ .

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) (x)}$

Этап 6.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{V - 1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{(V - 1) x}$

Этап 6.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

Этап 6.1.4.3

Сократим общий множитель $1 + V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{1 + V} \cdot \frac{1 + V}{x}$

Этап 6.1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{V - 1}{1 + V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{V - 1}{1 + V} d V = \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{V - 1}{1 + V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Изменим порядок $1$ и $V$ .

$\int \frac{V - 1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Разделим $V - 1$ на $V + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$V$

$1$

$V$

$1$

Этап 6.2.2.2.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $V$ на член с максимальной степенью в делителе $V$ .

					$1$
	$V$	+	$1$		$V$	-	$1$

Этап 6.2.2.2.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			+	$V$	+	$1$

Этап 6.2.2.2.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $V + 1$ .

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$

Этап 6.2.2.2.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$V$	+	$1$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$1$
					-	$2$

Этап 6.2.2.2.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d V + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$V + C_{1} + \int - \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$V + C_{1} - \int \frac{2}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $V$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$V + C_{1} - (2 \int \frac{1}{V + 1} d V) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{V + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.8

Пусть $u = V + 1$ . Тогда $d u = d V$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.8.1

Пусть $u = V + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d V}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.8.1.1

Дифференцируем $V + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V + 1]$

Этап 6.2.2.8.1.2

По правилу суммы производная $V + 1$ по $V$ имеет вид $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.8.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ имеет вид $n V^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [1]$

Этап 6.2.2.8.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $V$ , производная $1$ относительно $V$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 6.2.2.8.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 6.2.2.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$V + C_{1} - 2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.9

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$V + C_{1} - 2 (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.10

Упростим.

$V - 2 \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.11

Заменим все вхождения $u$ на $V + 1$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$V - 2 \ln (| V + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$

Этап 8

Решим $\frac{y}{x} - 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) = \ln (| x |) + C$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Упростим $- 2 \ln (| \frac{y}{x} + 1 |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$- \ln ({| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Этап 8.2.1.2

Уберем знак модуля в ${| \frac{y}{x} + 1 |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = - \frac{y}{x} + C$

Этап 8.3

Изменим порядок $- \frac{y}{x}$ и $C$ .

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) = C - \frac{y}{x}$

Этап 8.4

Перенесем все члены с $y$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Добавим $\frac{y}{x}$ к обеим частям уравнения.

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) - \ln (| x |) + \frac{y}{x} = C$

Этап 8.4.2

Чтобы записать $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

Этап 8.4.3

Объединим $- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2})$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x}{x} + \frac{y}{x} - \ln (| x |) = C$

Этап 8.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + 1)}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Этап 8.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.5.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{- \ln ({(\frac{y}{x} + \frac{x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Этап 8.4.5.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \ln ({(\frac{y + x}{x})}^{2}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Этап 8.4.5.3

Применим правило умножения к $\frac{y + x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) = C$

Этап 8.4.6

Чтобы записать $- \ln (| x |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} - \ln (| x |) \cdot \frac{x}{x} = C$

Этап 8.4.7

Объединим $- \ln (| x |)$ и $\frac{x}{x}$ .

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y}{x} + \frac{- \ln (| x |) x}{x} = C$

Этап 8.4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

Этап 8.4.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) + y - \ln (| x |) x}{x} = C$

Этап 8.4.10

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

Этап 8.4.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x) - 1 (- y)$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - \ln (| x |) x}{x} = C$

Этап 8.4.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- \ln (| x |) x$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)}{x} = C$

Этап 8.4.13

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y) - (\ln (| x |) x)$ .

$\frac{- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

Этап 8.4.14

Перепишем $- (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ в виде $- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)$ .

$\frac{- 1 (\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x)}{x} = C$

Этап 8.4.15

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x} = C$

Этап 8.4.16

Изменим порядок множителей в $- \frac{\ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) x - y + \ln (| x |) x}{x}$ .

$- \frac{x \ln (\frac{{(y + x)}^{2}}{x^{2}}) - y + x \ln (| x |)}{x} = C$