Математический анализ Примеры

$\frac{d v}{d t} = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}}$ , $v (2) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d v = \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d v = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$v + C_{1} = \int \frac{3}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1}} d t$

Этап 2.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 3 \int \frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}} d t$

Этап 2.3.3

Интеграл $\frac{1}{t \sqrt{t^{2} - 1^{2}}}$ по $t$ имеет вид $arcsec (| t |)$ .

$v + C_{1} = 3 (arcsec (| t |) + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим.

$v + C_{1} = 3 arcsec (| t |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $t$ и $0$ вместо $v$ в $v = 3 arcsec (| t |) + K$ .

$0 = 3 arcsec (| 2 |) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $3 arcsec (| 2 |) + K = 0$ .

$3 arcsec (| 2 |) + K = 0$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $2$ равно $2$ .

$3 arcsec (2) + K = 0$

Этап 4.2.1.2

Точное значение $arcsec (2)$ : $\frac{π}{3}$ .

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Этап 4.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{π}{3} + K = 0$

Этап 4.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$π + K = 0$

Этап 4.3

Вычтем $π$ из обеих частей уравнения.

$K = - π$

Этап 5

Подставим $- π$ вместо $K$ в $v = 3 arcsec (| t |) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- π$ вместо $K$ .

$v = 3 arcsec (| t |) - π$