Математический анализ Примеры

$3 x d y - 4 y d x = 0$

Этап 1

Добавим $4 y d x$ к обеим частям уравнения.

$3 x d y = 4 y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (3 x) d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Этап 3.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x y$ .

$\frac{3}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{y} d y = \frac{1}{x y} (4 y) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3}{y} d y = 4 \frac{1}{x y} y d x$

Этап 3.5

Объединим $4$ и $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x y} y d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{y x} y d x$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3}{y} d y = \frac{4}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{3}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$3 \int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$3 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.3

Упростим.

$3 \ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$3 \ln (| y |) = 4 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $3 \ln (| y |) - 4 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $3 \ln (| y |)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{3}) - 4 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Упростим $- 4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln ({| x |}^{4}) = C$

Этап 5.2.1.1.3

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln ({| y |}^{3}) - \ln (x^{4}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{{| y |}^{3}}{x^{4}}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Умножим обе части на $x^{4}$ .

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Этап 5.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{| y |}^{3}}{x^{4}} x^{4} = e^{C} x^{4}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

${| y |}^{3} = e^{C} x^{4}$

Этап 5.5.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.2.1

Изменим порядок множителей в $e^{C} x^{4}$ .

${| y |}^{3} = x^{4} e^{C}$

Этап 5.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$| y | = \sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$

Этап 5.5.4.2

Упростим $\sqrt[3]{x^{4} e^{C}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Перепишем $x^{4} e^{C}$ в виде $x^{3} (x e^{C})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Вынесем $x^{3}$ за скобки.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} x e^{C}}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Добавим круглые скобки.

$| y | = \sqrt[3]{x^{3} (x e^{C})}$

Этап 5.5.4.2.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| y | = x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Этап 5.5.4.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm x \sqrt[3]{x e^{C}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm x \sqrt[3]{x C}$