Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{9 y}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $9 y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{8 t^{2}}{y \cdot 9}$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{8 t^{2}}{9}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{8 t^{2}}{9} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{8}{9}$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $\frac{8}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \int t^{2} d t$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $\frac{8}{9} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ в виде $\frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $\frac{8}{9}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{9 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{8}{27} t^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{8}{27} t^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (\frac{8}{27} t^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{8}{27}$ и $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Умножим $2 \frac{8 t^{3}}{27}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Объединим $2$ и $\frac{8 t^{3}}{27}$ .

$y^{2} = \frac{2 (8 t^{3})}{27} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Умножим $8$ на $2$ .

$y^{2} = \frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{16 t^{3}}{27} + 2 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $\frac{16 t^{3}}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \frac{8 t^{3}}{27} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + K \cdot \frac{27}{27})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{27}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{8 t^{3}}{27} + \frac{K \cdot 27}{27})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + K \cdot 27}{27}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $27$ влево от $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{8 t^{3} + 27 K}{27}}$

Этап 3.4.5

Объединим $2$ и $\frac{8 t^{3} + 27 K}{27}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{27}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $2 (8 t^{3} + 27 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{27}}$

Этап 3.4.6.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $27$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}}$

Этап 3.4.6.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (2 (8 t^{3} + 27 K))}{3^{2} \cdot 3}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} \frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

Этап 3.4.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$

Этап 3.4.8

Перепишем $\sqrt{\frac{2 (8 t^{3} + 27 K)}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.9

Объединим.

$y = \pm \frac{1 \sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 3.4.10

Умножим $\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}$ на $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$

Этап 3.4.11

Умножим $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 3.4.12

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.1

Умножим $\frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 3.4.12.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 (\sqrt{3} \sqrt{3})}$

Этап 3.4.12.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}$

Этап 3.4.12.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}$

Этап 3.4.12.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 3.4.12.6

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4.12.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 3.4.12.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 3.4.12.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.12.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.12.7.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 3.4.12.7.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3^{1}}$

Этап 3.4.12.7.5

Найдем экспоненту.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K)} \sqrt{3}}{3 \cdot 3}$

Этап 3.4.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.13.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (8 t^{3} + 27 K) \cdot 3}}{3 \cdot 3}$

Этап 3.4.13.2

Умножим $3$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{3 \cdot 3}$

Этап 3.4.14

Умножим $3$ на $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + 27 K)}}{9}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (8 t^{3} + K)}}{9}$