Математический анализ Примеры

$\frac{d s}{d t} = 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d s = 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d s = \int 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$s + C_{1} = \int 7 t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 7 \int t {(4 t^{2} - 7)}^{3} d t$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 4 t^{2} - 7$ . Тогда $d u = 8 t d t$ , следовательно $\frac{1}{8} d u = t d t$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 4 t^{2} - 7$ . Найдем $\frac{d u}{d t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $4 t^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2} - 7]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $4 t^{2} - 7$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$\frac{d}{d t} [4 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d t} [4 t^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4 t^{2}$ по $t$ равна $4 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 7]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 7]$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $2$ на $4$ .

$8 t + \frac{d}{d t} [- 7]$

Этап 2.3.2.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $t$ , производная $- 7$ относительно $t$ равна $0$ .

$8 t + 0$

Этап 2.3.2.1.4.2

Добавим $8 t$ и $0$ .

$8 t$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$s + C_{1} = 7 \int u^{3} \frac{1}{8} d u$

Этап 2.3.3

Объединим $u^{3}$ и $\frac{1}{8}$ .

$s + C_{1} = 7 \int \frac{u^{3}}{8} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$s + C_{1} = 7 (\frac{1}{8} \int u^{3} d u)$

Этап 2.3.5

Объединим $\frac{1}{8}$ и $7$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8} \int u^{3} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{3}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $\frac{7}{8} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ в виде $\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Умножим $\frac{7}{8}$ на $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{8 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Умножим $8$ на $4$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{32} u^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $4 t^{2} - 7$ .

$s + C_{1} = \frac{7}{32} {(4 t^{2} - 7)}^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$s = \frac{7}{32} {(4 t^{2} - 7)}^{4} + K$