Математический анализ Примеры

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4} + 2 x y]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [3 x^{2} y^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{2} y^{4}$ по $y$ равна $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [2 x y]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \frac{d}{d y} [y]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x \cdot 1$

Этап 1.4.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 x^{2} y^{3} + 2 x$

Этап 1.5

Изменим порядок членов.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 12 y^{3} x^{2} + 2 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3} - x^{2}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3} y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $2 y^{3}$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3} y^{3}$ по $x$ равна $2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - (2 x)$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$12 y^{3} x^{2} + 2 x = 6 y^{3} x^{2} - 2 x$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $6 y^{3} x^{2} - 2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $12 y^{3} x^{2} + 2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{M}$

Этап 4.3

Подставим $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ вместо $M$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2} + 2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - (12 y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $12$ на $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - (2 x)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{6 y^{3} x^{2} - 2 x - 12 (y^{3} x^{2}) - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Этап 4.3.2.4

Вычтем $12 y^{3} x^{2}$ из $6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 2 x - 2 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Этап 4.3.2.5

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{- 6 y^{3} x^{2} - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Этап 4.3.2.6

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 y^{3} x^{2} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.6.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 6 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) - 4 x}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Этап 4.3.2.6.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Этап 4.3.2.6.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (- 3 y^{3} x) + 2 x (- 2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $x y$ из $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $x y$ из $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $x y$ из $2 x y$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $x y$ из $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x (- 3 y^{3} x - 2)}{x y (3 x y^{3} + 2)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (- 3 y^{3} x - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $- 3 y^{3} x - 2$ и $3 x y^{3} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{3} x$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 2)}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Этап 4.3.5.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x) - 1 (2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Этап 4.3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{3} x) - 1 (2)$ .

$\frac{2 (- (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Этап 4.3.5.4

Перепишем $- (3 y^{3} x + 2)$ в виде $- 1 (3 y^{3} x + 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 x y^{3} + 2)}$

Этап 4.3.5.5

Изменим порядок членов.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Этап 4.3.5.6

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- 1 (3 y^{3} x + 2))}{y (3 y^{3} x + 2)}$

Этап 4.3.5.7

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \cdot (- 1)}{y}$

Этап 4.3.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Этап 4.3.7

Подставим $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ вместо $M$ .

$- \frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.5

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $- 2 \ln (| y |)$ путем переноса $- 2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Этап 5.6.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Этап 5.6.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{- 2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Этап 5.6.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$(3 x^{2} y^{4} + 2 x y) \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.2

Умножим $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2} y^{4} + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $x y$ из $3 x^{2} y^{4} + 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $x y$ из $3 x^{2} y^{4}$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + 2 x y}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $x y$ из $2 x y$ .

$\frac{x y (3 x y^{3}) + x y (2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.3.3

Вынесем множитель $x y$ из $x y (3 x y^{3}) + x y (2)$ .

$\frac{x y (3 x y^{3} + 2)}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.4

Сократим общий множитель $y$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $y$ из $x y (3 x y^{3} + 2)$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y^{2}} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x (3 x y^{3} + 2))}{y \cdot y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + (2 x^{3} y^{3} - x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ на $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{2 x^{3} y^{3} - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.7

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{3} y^{3} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.7.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- x^{2}$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} d y = 0$

Этап 6.7.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (2 x y^{3}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x + \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y} d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = \frac{x (3 x y^{3} + 2)}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $\frac{1}{y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3} + 2) d x$

Этап 8.2

Развернем $x (3 x y^{3} + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x y^{3}) + x \cdot 2 d x$

Этап 8.2.2

Перенесем круглые скобки.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x (3 x) y^{3} + x \cdot 2 d x$

Этап 8.2.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int x \cdot 3 x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Этап 8.2.4

Изменим порядок $x$ и $3$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 \cdot x \cdot x y^{3} + x \cdot 2 d x$

Этап 8.2.5

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x \cdot x y^{3} + 2 x d x$

Этап 8.2.6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x) y^{3} + 2 x d x$

Этап 8.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 (x^{1} x^{1}) y^{3} + 2 x d x$

Этап 8.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{1 + 1} y^{3} + 2 x d x$

Этап 8.2.9

Добавим $1$ и $1$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} \int 3 x^{2} y^{3} + 2 x d x$

Этап 8.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (\int 3 x^{2} y^{3} d x + \int 2 x d x)$

Этап 8.4

Поскольку $3 y^{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3 y^{3}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} \int x^{2} d x + \int 2 x d x)$

Этап 8.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 2 x d x)$

Этап 8.6

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 \int x d x)$

Этап 8.7

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (3 y^{3} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C))$

Этап 8.8

Упростим.

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = \frac{1}{y}$ и $g (y) = y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d y} [y^{3} x^{3} + x^{2}] + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.2

По правилу суммы производная $y^{3} x^{3} + x^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{y} (\frac{d}{d y} [y^{3} x^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.3

Поскольку $x^{3}$ является константой относительно $y$ , производная $y^{3} x^{3}$ по $y$ равна $x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x^{2}]) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.5

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.6

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{1}{y} (x^{3} (3 y^{2}) + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.8

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{1}{y} (3 \cdot x^{3} y^{2} + 0) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.9

Добавим $3 x^{3} y^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{y} (3 x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.10

Объединим $3$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{3}{y} (x^{3} y^{2}) + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.11

Объединим $x^{3}$ и $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{y} y^{2} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.12

Объединим $\frac{x^{3} \cdot 3}{y}$ и $y^{2}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3 y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.13

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3} y^{2}}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.14

Сократим общий множитель $y^{2}$ и $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.14.1

Вынесем множитель $y$ из $3 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.14.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.14.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y^{1}} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.14.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{1}$ .

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.14.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y (3 x^{3} y)}{y \cdot 1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.14.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{3 x^{3} y}{1} + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.3.14.2.5

Разделим $3 x^{3} y$ на $1$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{3} y + (y^{3} x^{3} + x^{2}) (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{3} y + y^{3} x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.1

Объединим $y^{3}$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y + x^{3} (- \frac{y^{3}}{y^{2}}) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3.2

Объединим $x^{3}$ и $\frac{y^{3}}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y^{3}}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3.3

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.3.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $x^{3} y^{3}$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2}} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.5.3.3.2.1

Умножим на $1$ .

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{3} y - \frac{y^{2} (x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{3} y - \frac{x^{3} y}{1} + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3.3.2.4

Разделим $x^{3} y$ на $1$ .

$3 x^{3} y - (x^{3} y) + x^{2} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3.4

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 x^{3} y - x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.3.5

Вычтем $x^{3} y$ из $3 x^{3} y$ .

$2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 11.5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} = \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $\frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - \frac{x^{2}}{y^{2}} - \frac{x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3} - 1)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{2} (2 x y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.3.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x \cdot x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.3.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - (x^{1} x^{2}) (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.3.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{1 + 2} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) - x^{2} \cdot - 1}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.3.3

Умножим $- x^{2} \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + 1 x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.3.3.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - x^{3} (2 y^{3}) + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.3.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 1 \cdot 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.3.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.4

Объединим противоположные члены в $- x^{2} - 2 x^{3} y^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3} + 0}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.4.2

Добавим $- 2 x^{3} y^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y^{3}}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.5

Сократим общий множитель $y^{3}$ и $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.1

Вынесем множитель $y^{2}$ из $- 2 x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2}} = 0$

Этап 12.1.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{y^{2} (- 2 x^{3} y)}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Этап 12.1.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y + \frac{- 2 x^{3} y}{1} = 0$

Этап 12.1.5.2.4

Разделим $- 2 x^{3} y$ на $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y = 0$

Этап 12.1.6

Объединим противоположные члены в $\frac{d g}{d y} + 2 x^{3} y - 2 x^{3} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.6.1

Вычтем $2 x^{3} y$ из $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 = 0$

Этап 12.1.6.2

Добавим $\frac{d g}{d y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Этап 13

Найдем первообразную $0$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Этап 13.3

Интеграл $0$ по $y$ имеет вид $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Этап 13.4

Добавим $0$ и $C$ .

$g (y) = C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{y} (y^{3} x^{3} + x^{2}) + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $\frac{1}{y}$ на $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3} x^{3} + x^{2}}{y} + C$

Этап 15.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y^{3} x^{3} + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $y^{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2}}{y} + C$

Этап 15.2.2

Умножим на $1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1}{y} + C$

Этап 15.2.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (y^{3} x) + x^{2} \cdot 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y^{3} x + 1)}{y} + C$