Математический анализ Примеры

$x d x + \sec (x) \sin (y) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x d x$ из обеих частей уравнения.

$\sec (x) \sin (y) d y = - x d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{\sec (x)}$ .

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $\sec (x)$ из $\sec (x) \sin (y)$ .

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) (\sin (y))) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sec (x)} (\sec (x) \sin (y)) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\sin (y) d y = \frac{1}{\sec (x)} (- x) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\sec (x)} x d x$

Этап 3.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\sin (y) d y = - \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} x d x$

Этап 3.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\sin (y) d y = - (1 \cos (x)) x d x$

Этап 3.5

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\sin (y) d y = - \cos (x) x d x$

Этап 3.6

Изменим порядок множителей в $- \cos (x) x$ .

$\sin (y) d y = - x \cos (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \sin (y) d y = \int - x \cos (x) d x$

Этап 4.2

Интеграл $\sin (y)$ по $y$ имеет вид $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - x \cos (x) d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \cos (y) + C_{1} = - \int x \cos (x) d x$

Этап 4.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - \int \sin (x) d x)$

Этап 4.3.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$

Этап 4.3.4

Перепишем $- (x \sin (x) - (- \cos (x) + C_{2}))$ в виде $- (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$ .

$- \cos (y) + C_{1} = - (x \sin (x) + \cos (x)) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \cos (y) = - (x \sin (x) + \cos (x)) + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем уравнение в виде $- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$ .

$- (x \sin (x) + \cos (x)) + K = - \cos (y)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- x \sin (x) - \cos (x) + K = - \cos (y)$

Этап 5.3

Перенесем все члены без $\cos (x)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Добавим $x \sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$- \cos (x) + K = - \cos (y) + x \sin (x)$

Этап 5.3.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$

Этап 5.4

Разделим каждый член $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = - \cos (y) + x \sin (x) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 5.4.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \cos (y)}{- 1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (x) = \frac{\cos (y)}{1} + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.2

Разделим $\cos (y)$ на $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) + \frac{x \sin (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x \sin (x)}{- 1}$ .

$\cos (x) = \cos (y) - 1 \cdot (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot (x \sin (x))$ в виде $- (x \sin (x))$ .

$\cos (x) = \cos (y) - (x \sin (x)) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 5.4.3.1.5

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + \frac{K}{1}$

Этап 5.4.3.1.6

Разделим $K$ на $1$ .

$\cos (x) = \cos (y) - x \sin (x) + K$

Этап 5.5

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$x = \arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K)$

Этап 5.6

Перепишем уравнение в виде $\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$ .

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Этап 5.7

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\cos (y)$ из арккосинуса.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Этап 5.8

Перенесем все члены без $\cos (y)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Добавим $x \sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Этап 5.8.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Этап 5.9

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Этап 5.10

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\arccos (\cos (y) - x \sin (x) + K) = x$

Этап 5.11

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\cos (y)$ из арккосинуса.

$\cos (y) - x \sin (x) + K = \cos (x)$

Этап 5.12

Перенесем все члены без $\cos (y)$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Добавим $x \sin (x)$ к обеим частям уравнения.

$\cos (y) + K = \cos (x) + x \sin (x)$

Этап 5.12.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\cos (y) = \cos (x) + x \sin (x) - K$

Этап 5.13

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) - K)$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \arccos (\cos (x) + x \sin (x) + K)$