Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 6 x y - 5 x$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x y - 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $x$ из $6 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = x (6 y) - 5 x$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $x$ из $- 5 x$ .

$\frac{d y}{d x} = x (6 y) + x \cdot - 5$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x (6 y) + x \cdot - 5$ .

$\frac{d y}{d x} = x (6 y - 5)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{6 y - 5}$ .

$\frac{1}{6 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 y - 5} (x (6 y - 5))$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $6 y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $6 y - 5$ из $x (6 y - 5)$ .

$\frac{1}{6 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 y - 5} ((6 y - 5) x)$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6 y - 5} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{6 y - 5} ((6 y - 5) x)$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6 y - 5} \frac{d y}{d x} = x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{6 y - 5} d y = x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{6 y - 5} d y = \int x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 6 y - 5$ . Тогда $d u = 6 d y$ , следовательно $\frac{1}{6} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 6 y - 5$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $6 y - 5$ .

$\frac{d}{d y} [6 y - 5]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $6 y - 5$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [6 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{d}{d y} [6 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [6 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $6$ является константой относительно $y$ , производная $6 y$ по $y$ равна $6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$6 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $6$ на $1$ .

$6 + \frac{d}{d y} [- 5]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $y$ , производная $- 5$ относительно $y$ равна $0$ .

$6 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $6$ и $0$ .

$6$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{6} d u = \int x d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 6} d u = \int x d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $6$ влево от $u$ .

$\int \frac{1}{6 u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{6}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{6}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{6} \int \frac{1}{u} d u = \int x d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{6} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int x d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$\frac{1}{6} \ln (| u |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $6 y - 5$ .

$\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |) + C_{1} = \int x d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $6$ .

$6 (\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |)) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $6 (\frac{1}{6} \ln (| 6 y - 5 |))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $\ln (| 6 y - 5 |)$ .

$6 \frac{\ln (| 6 y - 5 |)}{6} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$6 \frac{\ln (| 6 y - 5 |)}{6} = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (| 6 y - 5 |) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\ln (| 6 y - 5 |) = 6 (\frac{x^{2}}{2} + C)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\ln (| 6 y - 5 |) = 6 \frac{x^{2}}{2} + 6 C$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\ln (| 6 y - 5 |) = 2 (3) \frac{x^{2}}{2} + 6 C$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| 6 y - 5 |) = 2 \cdot 3 \frac{x^{2}}{2} + 6 C$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| 6 y - 5 |) = 3 x^{2} + 6 C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 6 y - 5 |)} = e^{3 x^{2} + 6 C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (| 6 y - 5 |) = 3 x^{2} + 6 C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{3 x^{2} + 6 C} = | 6 y - 5 |$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $| 6 y - 5 | = e^{3 x^{2} + 6 C}$ .

$| 6 y - 5 | = e^{3 x^{2} + 6 C}$

Этап 3.5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$6 y - 5 = \pm e^{3 x^{2} + 6 C}$

Этап 3.5.3

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$6 y = \pm e^{3 x^{2} + 6 C} + 5$

Этап 3.5.4

Разделим каждый член $6 y = \pm e^{3 x^{2} + 6 C} + 5$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $6 y = \pm e^{3 x^{2} + 6 C} + 5$ на $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 6 C}}{6} + \frac{5}{6}$

Этап 3.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 y}{6} = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 6 C}}{6} + \frac{5}{6}$

Этап 3.5.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 6 C}}{6} + \frac{5}{6}$

Этап 3.5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + 6 C} + 5}{6}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2} + C} + 5}{6}$

Этап 4.2

Перепишем $e^{3 x^{2} + C}$ в виде $e^{3 x^{2}} e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{3 x^{2}} e^{C} + 5}{6}$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{3 x^{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \frac{\pm e^{C} e^{3 x^{2}} + 5}{6}$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = \frac{C e^{3 x^{2}} + 5}{6}$