Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = y t^{2} - 1.1 y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y t^{2} - 1.1 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y t^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) - 1.1 y$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- 1.1 y$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y (t^{2}) + y \cdot - 1.1$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - 1.1)$

Этап 1.1.2

Перепишем $1.1$ в виде ${1.04880884}^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = y (t^{2} - {1.04880884}^{2})$

Этап 1.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = t$ и $b = 1.04880884$ .

$\frac{d y}{d t} = y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Этап 1.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d t} = y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884))$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Этап 1.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y ((t + 1.04880884) (t - 1.04880884)))$

Этап 1.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = (t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$

Этап 1.3.2

Развернем $(t + 1.04880884) (t - 1.04880884)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t (t - 1.04880884) + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Этап 1.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 (t - 1.04880884)$

Этап 1.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Этап 1.3.3

Объединим противоположные члены в $t \cdot t + t \cdot - 1.04880884 + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Изменим порядок множителей в членах $t \cdot - 1.04880884$ и $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t - 1.04880884 t + 1.04880884 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Этап 1.3.3.2

Добавим $- 1.04880884 t$ и $1.04880884 t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t \cdot t + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Этап 1.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 t + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Этап 1.3.4.2

Умножим $0$ на $t$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 + 1.04880884 \cdot - 1.04880884$

Этап 1.3.4.3

Умножим $1.04880884$ на $- 1.04880884$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} + 0 - 1.1$

Этап 1.3.5

Добавим $t^{2}$ и $0$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = t^{2} - 1.1$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (t^{2} - 1.1) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int t^{2} - 1.1 d t$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} - 1.1 d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int t^{2} d t + \int - 1.1 d t$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} + \int - 1.1 d t$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} + C_{2} - 1.1 t + C_{3}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = \frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$ .

$| y | = e^{\frac{1}{3} t^{3} - 1.1 t + C}$

Этап 3.3.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$| y | = e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t + C}$ в виде $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{\frac{t^{3}}{3} - 1.1 t}$