Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1$ ; , $y (1) = 3$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} + 5 x^{- 1} - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 7 x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 7 \int x^{- 2} d x + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + \int 5 x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 \int x^{- 1} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) + \int - 1 d x$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 7 (- x^{- 1} + C_{2}) + 5 (\ln (| x |) + C_{3}) - x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Упростим.

$y + C_{1} = - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) - x + C_{5}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $1$ вместо $x$ и $3$ вместо $y$ в $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ .

$3 = - 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$ .

$- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Этап 4.2

Упростим $- 1 - \frac{7}{1} + 5 \ln (| 1 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Разделим $7$ на $1$ .

$- 1 - 1 \cdot 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (| 1 |) + C = 3$

Этап 4.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$- 1 - 7 + 5 \ln (1) + C = 3$

Этап 4.2.1.4

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$- 1 - 7 + 5 \cdot 0 + C = 3$

Этап 4.2.1.5

Умножим $5$ на $0$ .

$- 1 - 7 + 0 + C = 3$

Этап 4.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $- 1 - 7$ и $0$ .

$- 1 - 7 + C = 3$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $7$ из $- 1$ .

$- 8 + C = 3$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$C = 3 + 8$

Этап 4.3.2

Добавим $3$ и $8$ .

$C = 11$

Этап 5

Подставим $11$ вместо $C$ в $y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $11$ вместо $C$ .

$y = - x - \frac{7}{x} + 5 \ln (| x |) + 11$

Этап 5.2

Упростим $5 \ln (| x |)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$y = - x - \frac{7}{x} + \ln ({| x |}^{5}) + 11$