Математический анализ Примеры

$(2 x e^{3 y} + e^{x}) d x + (3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y} + e^{x}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x e^{3 y} + e^{x}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x e^{3 y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x e^{3 y}$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.3.7

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}]$

Этап 1.4

Поскольку $e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $e^{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y} + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $6 x e^{3 y}$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок множителей в $6 x e^{3 y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 e^{3 y} x$

Этап 1.5.3

Изменим порядок множителей в $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x e^{3 y}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 y}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3 e^{3 y}$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} e^{3 y}$ по $x$ равна $3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 e^{3 y} (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Этап 2.4

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $6 e^{3 y} x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 e^{3 y} x$

Этап 2.5.2

Изменим порядок множителей в $6 e^{3 y} x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 x e^{3 y}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $6 x e^{3 y}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $6 x e^{3 y}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$6 x e^{3 y} = 6 x e^{3 y}$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} + e^{x} d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 x e^{3 y} + e^{x}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 x e^{3 y} d x + \int e^{x} d x$

Этап 5.2

Поскольку $2 e^{3 y}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 e^{3 y}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 e^{3 y} \int x d x + \int e^{x} d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int e^{x} d x$

Этап 5.4

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + e^{x} + C$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 e^{3 y} (\frac{x^{2}}{2} + C) + e^{x} + C$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [e^{3 y} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $e^{3 y} x^{2}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [e^{3 y}] + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.3.2.2

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 y$ .

$x^{2} (e^{3 y} \frac{d}{d y} [3 y]) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3 y$ по $y$ равна $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 y} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.3.5

Умножим $3$ на $1$ .

$x^{2} (e^{3 y} \cdot 3) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.3.6

Перенесем $3$ влево от $e^{3 y}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 y}) + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.3.7

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d}{d y} [e^{x}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.4

Поскольку $e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $e^{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $3 x^{2} e^{3 y}$ и $0$ .

$3 x^{2} e^{3 y} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 8.6.3

Изменим порядок множителей в $\frac{d g}{d y} + 3 e^{3 y} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} e^{3 y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $3 x^{2} e^{3 y}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} e^{3 y} - y^{2} - 3 x^{2} e^{3 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $3 x^{2} e^{3 y}$ из $3 x^{2} e^{3 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2} + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $- y^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - y^{2}$

Этап 10

Найдем первообразную $- y^{2}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - y^{2} d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - y^{2} d y$

Этап 10.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int y^{2} d y$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Этап 10.5

Перепишем $- (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ в виде $- \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$g (y) = - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} + g (y)$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$

Этап 12

Упростим $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $y^{3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$

Этап 12.2

Изменим порядок множителей в $f (x, y) = e^{3 y} x^{2} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$ .

$f (x, y) = x^{2} e^{3 y} + e^{x} - \frac{y^{3}}{3} + C$