Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 2 x^{4} + 5 x^{3} + x - 4 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 2 x^{4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 \int x^{4} d x + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + \int 5 x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 \int x^{3} d x + \int x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \int x d x + \int - 4 d x$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{5} x^{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

Этап 2.3.7.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} + \int - 4 d x$

Этап 2.3.8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 2 (\frac{x^{5}}{5} + C_{2}) + 5 (\frac{x^{4}}{4} + C_{3}) + \frac{1}{2} x^{2} + C_{4} - 4 x + C_{5}$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{5}}{5} + \frac{5 x^{4}}{4} + \frac{x^{2}}{2} - 4 x + C_{6}$

Этап 2.3.9.2

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = \frac{2}{5} x^{5} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{2}{5} x^{5} + \frac{5}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + K$