Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - y}{y + 1}$ , $y (3) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - y}{y + 1}$

Этап 1.1.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 1}{y + 1}$

Этап 1.1.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2} + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1)}{y + 1}$

Этап 1.1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 1^{2})}{y + 1}$

Этап 1.1.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y ((x + 1) (x - 1))}{y + 1}$

Этап 1.1.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x + 1) (x - 1)}{y + 1}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{y + 1}{y}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x + 1) (x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Развернем $(x + 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x (x - 1) + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.2.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.2.1.4

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.2.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - x + x - 1) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} + 0 - 1) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.2.3

Добавим $x^{2}$ и $0$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} ((x^{2} - 1) \frac{y}{y + 1})$

Этап 1.4.3

Умножим $x^{2} - 1$ на $\frac{y}{y + 1}$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Этап 1.4.4

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{y + 1}{y} \cdot \frac{(x^{2} - 1) y}{y + 1}$

Этап 1.4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} ((x^{2} - 1) y)$

Этап 1.4.5

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.5.1

Вынесем множитель $y$ из $(x^{2} - 1) y$ .

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Этап 1.4.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x^{2} - 1))$

Этап 1.4.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{y + 1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{y + 1}{y} d y = (x^{2} - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y + 1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{y}{y} + \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{y}{y} d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2.3.2

Перепишем это выражение.

$\int d y + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$y + C_{1} + \ln (| y |) + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + \ln (| y |) + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $3$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ .

$1 + \ln (| 1 |) = \frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$

Этап 4

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2

Упростим $\frac{1}{3} \cdot 3^{3} - 1 \cdot 3 + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3^{3}$ .

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2.1.1.3

Перепишем это выражение.

$3^{2} - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$9 - 1 \cdot 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$9 - 3 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Этап 4.2.2

Вычтем $3$ из $9$ .

$6 + C = 1 + \ln (| 1 |)$

Этап 4.3

Упростим $1 + \ln (| 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$6 + C = 1 + \ln (1)$

Этап 4.3.1.2

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$6 + C = 1 + 0$

Этап 4.3.2

Добавим $1$ и $0$ .

$6 + C = 1$

Этап 4.4

Перенесем все члены без $C$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вычтем $6$ из обеих частей уравнения.

$C = 1 - 6$

Этап 4.4.2

Вычтем $6$ из $1$ .

$C = - 5$

Этап 5

Подставим $- 5$ вместо $C$ в $y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 5$ вместо $C$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{1}{3} x^{3} - x - 5$

Этап 5.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + \ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3} - x - 5$