Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}} y^{4}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (t^{\frac{5}{2}} y^{4})$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y^{4}$ из $t^{\frac{5}{2}} y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{4}} (y^{4} t^{\frac{5}{2}})$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d t} = t^{\frac{5}{2}}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{4}} d y = t^{\frac{5}{2}} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 4}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int t^{\frac{5}{2}} d t$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $t^{\frac{5}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{2}{7} t^{\frac{7}{2}} + K$