Математический анализ Примеры

$\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x + \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $\frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = - \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $e^{3 x + 3 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $e^{2 y}$ и $e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $e^{3 x}$ из $e^{2 y}$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x}} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Умножим на $1$ .

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 x} e^{2 y - 3 x}}{e^{3 x} \cdot 1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 y - 3 x}}{1} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3.1.2.4

Разделим $e^{2 y - 3 x}$ на $1$ .

$e^{3 x + 3 y} e^{2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3.2

Умножим $e^{3 x + 3 y}$ на $e^{2 y - 3 x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{3 x + 3 y + 2 y - 3 x} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $3 x + 3 y + 2 y - 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $3 x$ из $3 x$ .

$e^{3 y + 2 y + 0} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3.2.2.2

Добавим $3 y + 2 y$ и $0$ .

$e^{3 y + 2 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3.2.3

Добавим $3 y$ и $2 y$ .

$e^{5 y} d y = e^{3 x + 3 y} (- \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}}) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x}}{e^{3 y}} d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $e^{2 x}$ и $e^{3 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $e^{3 y}$ из $e^{2 x}$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y}} d x$

Этап 3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим на $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Этап 3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{3 y} e^{2 x - 3 y}}{e^{3 y} \cdot 1} d x$

Этап 3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} \frac{e^{2 x - 3 y}}{1} d x$

Этап 3.4.2.4

Разделим $e^{2 x - 3 y}$ на $1$ .

$e^{5 y} d y = - e^{3 x + 3 y} e^{2 x - 3 y} d x$

Этап 3.5

Умножим $e^{3 x + 3 y}$ на $e^{2 x - 3 y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $e^{2 x - 3 y}$ .

$e^{5 y} d y = - (e^{2 x - 3 y} e^{3 x + 3 y}) d x$

Этап 3.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{5 y} d y = - e^{2 x - 3 y + 3 x + 3 y} d x$

Этап 3.5.3

Объединим противоположные члены в $2 x - 3 y + 3 x + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Добавим $- 3 y$ и $3 y$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x + 0} d x$

Этап 3.5.3.2

Добавим $2 x + 3 x$ и $0$ .

$e^{5 y} d y = - e^{2 x + 3 x} d x$

Этап 3.5.4

Добавим $2 x$ и $3 x$ .

$e^{5 y} d y = - e^{5 x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int e^{5 y} d y = \int - e^{5 x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Пусть $u_{1} = 5 y$ . Тогда $d u_{1} = 5 d y$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Пусть $u_{1} = 5 y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Дифференцируем $5 y$ .

$\frac{d}{d y} [5 y]$

Этап 4.2.1.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $y$ , производная $5 y$ по $y$ равна $5 \frac{d}{d y} [y]$ .

$5 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 4.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 4.2.1.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 4.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Этап 4.2.2

Объединим $e^{u_{1}}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{5} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Этап 4.2.3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $e^{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int - e^{5 x} d x$

Этап 4.2.5

Упростим.

$\frac{1}{5} e^{u_{1}} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Этап 4.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 y$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = \int - e^{5 x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{5 x} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u_{2} = 5 x$ . Тогда $d u_{2} = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u_{2} = 5 x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

Этап 4.3.2.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $5$ на $1$ .

$5$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int e^{u_{2}} \frac{1}{5} d u_{2}$

Этап 4.3.3

Объединим $e^{u_{2}}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{2}}}{5} d u_{2}$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - (\frac{1}{5} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Этап 4.3.5

Интеграл $e^{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} (e^{u_{2}} + C_{2})$

Этап 4.3.6

Упростим.

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{u_{2}} + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} + C_{1} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{5} e^{5 y} = - \frac{1}{5} e^{5 x} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим обе части уравнения на $5$ .

$5 (\frac{1}{5} e^{5 y}) = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Этап 5.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим $5 (\frac{1}{5} e^{5 y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $e^{5 y}$ .

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$5 \frac{e^{5 y}}{5} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Этап 5.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$

Этап 5.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Упростим $5 (- \frac{1}{5} e^{5 x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Объединим $e^{5 x}$ и $\frac{1}{5}$ .

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5} + K)$

Этап 5.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{5 y} = 5 (- \frac{e^{5 x}}{5}) + 5 K$

Этап 5.2.2.1.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{e^{5 x}}{5}$ в числитель.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Этап 5.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$e^{5 y} = 5 \frac{- e^{5 x}}{5} + 5 K$

Этап 5.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$e^{5 y} = - e^{5 x} + 5 K$

Этап 5.3

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{5 y}) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Этап 5.4

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Развернем $\ln (e^{5 y})$ , вынося $5 y$ из логарифма.

$5 y \ln (e) = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Этап 5.4.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$5 y \cdot 1 = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Этап 5.4.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$

Этап 5.5

Разделим каждый член $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $5 y = \ln (- e^{5 x} + 5 K)$ на $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Этап 5.5.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + 5 K)}{5}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\ln (- e^{5 x} + K)}{5}$