Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 9 x^{2} + 3 \cos (x)$ , $y (0) = 15$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (9 x^{2} + 3 \cos (x)) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} + 3 \cos (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 9 x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $9$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $9$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 9 \int x^{2} d x + \int 3 \cos (x) d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int 3 \cos (x) d x$

Этап 2.3.4

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 \int \cos (x) d x$

Этап 2.3.5

Интеграл $\cos (x)$ по $x$ имеет вид $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + 3 (\sin (x) + C_{3})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Упростим.

$y + C_{1} = 9 (\frac{1}{3}) x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Объединим $9$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{9}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2

Сократим общий множитель $9$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 (1)} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{3}{1} x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.3.6.2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$y + C_{1} = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $15$ вместо $y$ в $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ .

$15 = 3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$ .

$3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K = 15$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $3 \cdot 0^{3} + 3 \sin (0) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$3 \cdot 0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$0 + 3 \sin (0) + K = 15$

Этап 4.2.1.1.3

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$0 + 3 \cdot 0 + K = 15$

Этап 4.2.1.1.4

Умножим $3$ на $0$ .

$0 + 0 + K = 15$

Этап 4.2.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + K = 15$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 15$

Этап 5

Подставим $15$ вместо $K$ в $y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $15$ вместо $K$ .

$y = 3 x^{3} + 3 \sin (x) + 15$