Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = - 2 t y + 4 e^{- t^{2}}$ , $y (0) = 3$

Этап 1

Добавим $2 t y$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d y}{d t} + 2 t y = 4 e^{- t^{2}}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = 2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 2 t d t}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $2 t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int t d t}$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $t$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$e^{2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$ .

$e^{2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{2}{2} t^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{1 t^{2} + C}$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $t^{2}$ на $1$ .

$e^{t^{2} + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{t^{2}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{t^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $e^{t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + e^{t^{2}} (2 t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = e^{t^{2}} (4 e^{- t^{2}})$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{t^{2}} e^{- t^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $e^{t^{2}}$ на $e^{- t^{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $e^{- t^{2}}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 (e^{- t^{2}} e^{t^{2}})$

Этап 3.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{- t^{2} + t^{2}}$

Этап 3.4.3

Добавим $- t^{2}$ и $t^{2}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4 e^{0}$

Этап 3.5

Упростим $4 e^{0}$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$

Этап 3.6

Изменим порядок множителей в $e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 e^{t^{2}} (t y) = 4$ .

$e^{t^{2}} \frac{d y}{d t} + 2 t y e^{t^{2}} = 4$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] = 4$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [e^{t^{2}} y] d t = \int 4 d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$e^{t^{2}} y = \int 4 d t$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{t^{2}} y = 4 t + C$

Этап 8

Разделим каждый член $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ на $e^{t^{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $e^{t^{2}} y = 4 t + C$ на $e^{t^{2}}$ .

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $e^{t^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{t^{2}} y}{e^{t^{2}}} = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$

Этап 9

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $t$ и $3$ вместо $y$ в $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ .

$3 = \frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$

Этап 10

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$ .

$\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Этап 10.2

Упростим $\frac{4 \cdot 0}{e^{0^{2}}} + \frac{C}{e^{0^{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 \cdot 0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Этап 10.2.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.2.1

Умножим $4$ на $0$ .

$\frac{0 + C}{e^{0^{2}}} = 3$

Этап 10.2.1.2.2

Добавим $0$ и $C$ .

$\frac{C}{e^{0^{2}}} = 3$

Этап 10.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{C}{e^{0}} = 3$

Этап 10.2.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\frac{C}{1} = 3$

Этап 10.2.3

Разделим $C$ на $1$ .

$C = 3$

Этап 11

Подставим $3$ вместо $C$ в $y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{C}{e^{t^{2}}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подставим $3$ вместо $C$ .

$y = \frac{4 t}{e^{t^{2}}} + \frac{3}{e^{t^{2}}}$