Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$ , $y (4) = 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x}{y})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x}{y}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Этап 1.2.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x}{y}$

Этап 1.2.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y d y = - x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - x d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Перепишем $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{2} x^{2} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{2}}{2}$ в числитель.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2}}{2} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} = - x^{2} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + 2 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- x^{2} + K}$

$y = - \sqrt{- x^{2} + K}$

Этап 5

Так как $y$ принимает положительные значения при начальном условии $(4, 3)$ , рассмотрим $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $4$ вместо $x$ , а $3$ вместо $y$ .

$3 = \sqrt{- 4^{2} + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$ .

$\sqrt{- 4^{2} + K} = 3$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- 4^{2} + K}}^{2} = 3^{2}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- 4^{2} + K}$ в виде ${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- 4^{2} + K)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- 4^{2} + K)}^{1} = 3^{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

${(- 1 \cdot 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Этап 6.3.2.1.2.2

Умножим $- 1$ на $16$ .

${(- 16 + K)}^{1} = 3^{2}$

Этап 6.3.2.1.3

Упростим.

$- 16 + K = 3^{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- 16 + K = 9$

Этап 6.4

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Добавим $16$ к обеим частям уравнения.

$K = 9 + 16$

Этап 6.4.2

Добавим $9$ и $16$ .

$K = 25$

Этап 7

Подставим $25$ вместо $K$ в $y = \sqrt{- x^{2} + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $25$ вместо $K$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 25}$

Этап 7.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \sqrt{- x^{2} + 5^{2}}$

Этап 7.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $5^{2}$ .

$y = \sqrt{5^{2} - x^{2}}$

Этап 7.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 5$ и $b = x$ .

$y = \sqrt{(5 + x) (5 - x)}$