Математический анализ Примеры

$\frac{d P}{d t} = k \cdot P$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{P}$ .

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} (k \cdot P)$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $P$ из $k \cdot P$ .

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} (P \cdot k)$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = \frac{1}{P} (P \cdot k)$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{P} \frac{d P}{d t} = k$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{P} d P = k d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{P} d P = \int k d t$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{P}$ по $P$ имеет вид $\ln (| P |)$ .

$\ln (| P |) + C_{1} = \int k d t$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| P |) + C_{1} = k t + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| P |) = k t + C$

Этап 3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $P$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| P |)} = e^{k t + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| P |) = k t + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{k t + C} = | P |$

Этап 3.3

Решим относительно $P$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| P | = e^{k t + C}$ .

$| P | = e^{k t + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$P = \pm e^{k t + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{k t + C}$ в виде $e^{k t} e^{C}$ .

$P = \pm e^{k t} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{k t}$ и $e^{C}$ .

$P = \pm e^{C} e^{k t}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$P = C e^{k t}$