Математический анализ Примеры

$x y \frac{d y}{d x} + 3 = 0$ , $f (2) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $3$ из обеих частей уравнения.

$x y \frac{d y}{d x} = - 3$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ на $x y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $x y \frac{d y}{d x} = - 3$ на $x y$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{- 3}{x y}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- 3}{x y}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3}{x y}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x y}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y \frac{d y}{d x} = - y (\frac{3}{x} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.4.2

Умножим $\frac{3}{x}$ на $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{3}{x y}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{x y}$

Этап 1.4.3.2

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Этап 1.4.3.3

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{3}{y x}$

Этап 1.4.3.4

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y d y = - \frac{3}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{3}{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{3}{x} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - 3 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - 3 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |) + C)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- 3 \ln (| x |) + C)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- 3 \ln (| x |)) + 2 C$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y^{2} = - 6 \ln (| x |) + 2 C$

Этап 3.3

Упростим $- 6 \ln (| x |)$ путем переноса $6$ под логарифм.

$y^{2} = - \ln ({| x |}^{6}) + 2 C$

Этап 3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({| x |}^{6}) + 2 C}$

Этап 3.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{6}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$y = \pm \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + 2 C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

$y = - \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$

Этап 5

Так как $y$ принимает положительные значения при начальном условии $(2, 1)$ , рассмотрим $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ , чтобы найти $C$ . Подставим $2$ вместо $x$ , а $1$ вместо $y$ .

$1 = \sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$ .

$\sqrt{- \ln (2^{6}) + C} = 1$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}}^{2} = 1^{2}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{- \ln (2^{6}) + C}$ в виде ${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(- \ln (2^{6}) + C)}^{1} = 1^{2}$

Этап 6.3.2.1.2

Возведем $2$ в степень $6$ .

${(- \ln (64) + C)}^{1} = 1^{2}$

Этап 6.3.2.1.3

Упростим.

$- \ln (64) + C = 1^{2}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- \ln (64) + C = 1$

Этап 6.4

Добавим $\ln (64)$ к обеим частям уравнения.

$C = 1 + \ln (64)$

Этап 7

Подставим $1 + \ln (64)$ вместо $C$ в $y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + C}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1 + \ln (64)$ вместо $C$ .

$y = \sqrt{- \ln (x^{6}) + 1 + \ln (64)}$