Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(y - 1)}^{2}}{x}$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель ${(y - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 {(y - 1)}^{2}}{{(y - 1)}^{2} x}$

Этап 1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = y - 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = y - 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Этап 2.2.1.1.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Перепишем $- u^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$y - 1, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y - 1$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ умножим на $y - 1$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y - 1} = \ln (| x |) + C$ на $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y - 1}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = \ln (| x |) (y - 1) + C (y - 1)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = \ln (| x |) y + \ln (| x |) \cdot - 1 + C (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $\ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - 1 \cdot \ln (| x |) + C (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем $- 1 \ln (| x |)$ в виде $- \ln (| x |)$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C (y - 1)$

Этап 3.2.3.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y + C \cdot - 1$

Этап 3.2.3.1.5

Перенесем $- 1$ влево от $C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - 1 \cdot C$

Этап 3.2.3.1.6

Перепишем $- 1 C$ в виде $- C$ .

$- 1 = \ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$

Этап 3.2.3.2

Изменим порядок множителей в $\ln (| x |) y - \ln (| x |) + C y - C$ .

$- 1 = y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$ .

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y - C = - 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) = - C y + C - 1$

Этап 3.3.3

Добавим $C y$ к обеим частям уравнения.

$y \ln (| x |) - \ln (| x |) + C y = C - 1$

Этап 3.3.4

Добавим $\ln (| x |)$ к обеим частям уравнения.

$y \ln (| x |) + C y = C - 1 + \ln (| x |)$

Этап 3.3.5

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (| x |) + C y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Вынесем множитель $y$ из $C y$ .

$y \ln (| x |) + y C = C - 1 + \ln (| x |)$

Этап 3.3.5.2

Вынесем множитель $y$ из $y \ln (| x |) + y C$ .

$y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$

Этап 3.3.6

Разделим каждый член $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ на $\ln (| x |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Разделим каждый член $y (\ln (| x |) + C) = C - 1 + \ln (| x |)$ на $\ln (| x |) + C$ .

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Этап 3.3.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1

Сократим общий множитель $\ln (| x |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (\ln (| x |) + C)}{\ln (| x |) + C} = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Этап 3.3.6.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} + \frac{- 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Этап 3.3.6.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = \frac{C}{\ln (| x |) + C} - \frac{1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Этап 3.3.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{C - 1}{\ln (| x |) + C} + \frac{\ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Этап 3.3.6.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{C - 1 + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C + \ln (| x |)}{\ln (| x |) + C}$