Математический анализ Примеры

$7 x - 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $7 x$ из обеих частей уравнения.

$- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ на $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 7 x$ на $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $- 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.2.3

Сократим общий множитель $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.2.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 7 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.3.2

Умножим $\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.3.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.3.1

Умножим $\frac{7 x}{8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ на $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Этап 1.1.2.3.3.2

Перенесем $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Этап 1.1.2.3.3.3

Возведем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Этап 1.1.2.3.3.4

Возведем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

Этап 1.1.2.3.3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Этап 1.1.2.3.3.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Этап 1.1.2.3.3.7

Перепишем ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ в виде $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.3.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 1}$ в виде ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.1.2.3.3.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.1.2.3.3.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.2.3.3.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.3.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.1.2.3.3.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Этап 1.1.2.3.3.7.5

Упростим.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 y (x^{2} + 1)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Объединим.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1) y}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $y$ из $8 (x^{2} + 1) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (8 (x^{2} + 1))}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{8 (x^{2} + 1)}$

Этап 1.4.3

Умножим $7$ на $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{7 x \sqrt{x^{2} + 1}}{8 (x^{2} + 1)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $\frac{7}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{7}{8}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{u}}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Этап 2.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{7}{8}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{2 \cdot 8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Этап 2.3.5.1.2

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Этап 2.3.5.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Этап 2.3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.1

Перенесем $u^{\frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.3.2

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.2.1

Умножим $u$ на $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.3.2.1.1

Возведем $u$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.3.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.3.2.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Этап 2.3.5.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.4.1

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.5.4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.5.4.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Этап 2.3.5.4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $\frac{7}{16} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{16} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $\frac{7}{16}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7 \cdot 2}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{14}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3

Сократим общий множитель $14$ и $16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $14$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (7)}{16} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $16$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 7}{2 \cdot 8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{7}{8} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$