Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{5 x + 1}$ , $y (3) = - 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = \sqrt{5 x + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int \sqrt{5 x + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 5 x + 1$ . Тогда $d u = 5 d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 5 x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $5 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.3.3

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 + 0$

Этап 2.3.1.1.4.2

Добавим $5$ и $0$ .

$5$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $\sqrt{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{5} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int \sqrt{u} d u$

Этап 2.3.4

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Этап 2.3.5

По правилу степени интеграл $u^{\frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перепишем $\frac{1}{5} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ в виде $\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.2.1

Умножим $\frac{1}{5}$ на $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{5 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.6.2.2

Умножим $5$ на $3$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $5 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $3$ вместо $x$ и $- 2$ вместо $y$ в $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ .

$- 2 = \frac{2}{15} {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(5 \cdot 3 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(15 + 1)}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Этап 4.2.2

Добавим $15$ и $1$ .

$\frac{2}{15} \cdot 16^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Этап 4.2.3

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$\frac{2}{15} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + K = - 2$

Этап 4.2.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Этап 4.2.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + K = - 2$

Этап 4.2.5.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{15} \cdot 4^{3} + K = - 2$

Этап 4.2.6

Возведем $4$ в степень $3$ .

$\frac{2}{15} \cdot 64 + K = - 2$

Этап 4.2.7

Умножим $\frac{2}{15} \cdot 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Объединим $\frac{2}{15}$ и $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{15} + K = - 2$

Этап 4.2.7.2

Умножим $2$ на $64$ .

$\frac{128}{15} + K = - 2$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{128}{15}$ из обеих частей уравнения.

$K = - 2 - \frac{128}{15}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{15}{15}$ .

$K = - 2 \cdot \frac{15}{15} - \frac{128}{15}$

Этап 4.3.3

Объединим $- 2$ и $\frac{15}{15}$ .

$K = \frac{- 2 \cdot 15}{15} - \frac{128}{15}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{- 2 \cdot 15 - 128}{15}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $- 2$ на $15$ .

$K = \frac{- 30 - 128}{15}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $128$ из $- 30$ .

$K = \frac{- 158}{15}$

Этап 4.3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$K = - \frac{158}{15}$

Этап 5

Подставим $- \frac{158}{15}$ вместо $K$ в $y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- \frac{158}{15}$ вместо $K$ .

$y = \frac{2}{15} {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{158}{15}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{2}{15}$ и ${(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{15} - \frac{158}{15}$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158}{15}$

Этап 5.4

Вынесем множитель $2$ из $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 158$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - 158}{15}$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 158$ .

$y = \frac{2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79}{15}$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 {(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot - 79$ .

$y = \frac{2 ({(5 x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 79)}{15}$