Математический анализ Примеры

$(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x^{2} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2} - y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y^{2}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (2 y)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 y$

Этап 1.4

Вычтем $2 y$ из $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x y]$

Этап 2.2

Поскольку $- y$ является константой относительно $x$ , производная $- x y$ по $x$ равна $- y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $- y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 y = - y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- 2 y = - y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $- 2 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 2 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $- y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 2 y - - y}{N}$

Этап 4.3

Подставим $- x y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $- x y$ вместо $N$ .

$\frac{- 2 y - - y}{- x y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y - - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $- 2 y$ .

$\frac{y \cdot - 2 - - y}{- x y}$

Этап 4.3.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $- - y$ .

$\frac{y \cdot - 2 + y (- - 1)}{- x y}$

Этап 4.3.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot - 2 + y (- - 1)$ .

$\frac{y (- 2 - - 1)}{- x y}$

Этап 4.3.2.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y (- 2 + 1)}{- x y}$

Этап 4.3.2.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Этап 4.3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \cdot - 1}{- x y}$

Этап 4.3.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{- x}$

Этап 4.3.4

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{1}{x}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 5.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Этап 5.2.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = | x | + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $(x^{2} - y^{2}) d x - x y d y = 0$ на коэффициент интегрирования $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x^{2} - y^{2}$ на $x$ .

$(x^{2} - y^{2}) x d x - x y d y = 0$

Этап 6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{2} x - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$(x^{2} x^{1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Этап 6.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{2 + 1} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Этап 6.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $- x y$ на $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x y x d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перенесем $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - (x \cdot x) y d y = 0$

Этап 6.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{3} - y^{2} x) d x - x^{2} y d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} y d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = - x^{2} y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $- x^{2}$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- x^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = - x^{2} \int y d y$

Этап 8.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 8.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Перепишем $- x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $- x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = - x^{2} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} y^{2} + C$

Этап 8.3.2.2

Объединим $y^{2}$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Этап 8.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2} x^{2}) + C$

Этап 8.3.3.2

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} y^{2}) x^{2} + C$

Этап 8.3.3.3

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $- \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.3

Поскольку $- \frac{y^{2}}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x^{2} y^{2}}{2}$ по $x$ равна $- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- \frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \frac{y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.6

Объединим $- 2$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.7

Объединим $\frac{- 2 y^{2}}{2}$ и $x$ .

$\frac{- 2 y^{2} x}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.8

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 y^{2} x$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- y^{2} x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- y^{2} x}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.3.8.2.4

Разделим $- y^{2} x$ на $1$ .

$- y^{2} x + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$- y^{2} x + \frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x = x^{3} - y^{2} x$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Добавим $y^{2} x$ к обеим частям уравнения.

$\frac{d g}{d x} = x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $x^{3} - y^{2} x + y^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Добавим $- y^{2} x$ и $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3} + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $x^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{3}$

Этап 13

Найдем первообразную $x^{3}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{3} d x$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{3} d x$

Этап 13.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 15.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{y^{2}}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{1}{4} x^{4} + C$

Этап 15.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} + C$