Математический анализ Примеры

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде, подходящем для применения метода решения уравнения в полных дифференциалах.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ из обеих частей уравнения.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Этап 1.2

Перепишем.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Этап 2.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y \ln (\frac{x}{y})$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ имеет вид $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = \ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \ln (y)$ и $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.5.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.6

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.7

Умножим $\frac{y}{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.8

Объединим $\frac{y}{x}$ и $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.9

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.10

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.13

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{y}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Объединим $x$ и $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.14.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.14.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.14.3

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.16

Умножим $y^{2}$ на $y^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Перенесем $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.16.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.16.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.17

Упростим $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 2.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Этап 2.19

Умножим $\ln (\frac{x}{y})$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Этап 2.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 2.20.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 3

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 4

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1 - \ln (\frac{x}{y})$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Этап 4.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ не является тождеством.

Этап 5

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 5.2

Подставим $1 - \ln (\frac{x}{y})$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Этап 5.3

Подставим $- y (\ln (x) - \ln (y))$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Подставим $- y (\ln (x) - \ln (y))$ вместо $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 5.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 5.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 5.3.2.3

Умножим $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 5.3.2.3.2

Умножим $\ln (\frac{x}{y})$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 5.3.2.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 5.3.2.5

Добавим $0$ и $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 5.3.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $\ln (\frac{x}{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- y}$

Этап 5.3.5

Подставим $- y (\ln (x) - \ln (y))$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Этап 5.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y}$

Этап 5.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 6

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 6.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 6.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Упростим $- \ln (| y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Этап 6.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Этап 6.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Этап 7

Умножим обе стороны $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- y (\ln (x) - \ln (y))$ на $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 7.2.2

Сократим общий множитель.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 7.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Этап 7.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Этап 7.4

Перепишем $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ в виде $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Этап 7.5

Умножим $x$ на $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 7.6

Объединим $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Этап 8

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Этап 9

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{x}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Поскольку $x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Этап 9.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Этап 9.3

Упростим.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Этап 10

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Этап 11

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 12

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (| y |) + g (x)] = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Перепишем.

$x d y = y (\ln (x) - \ln (y)) d x$

Этап 13.1.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.2.1

Вычтем $y (\ln (x) - \ln (y)) d x$ из обеих частей уравнения.

$x d y - y (\ln (x) - \ln (y)) d x = 0$

Этап 13.1.2.2

Перепишем.

$- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Этап 13.1.3

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = - y (\ln (x) - \ln (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y (\ln (x) - \ln (y))]$

Этап 13.1.3.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y \ln (\frac{x}{y})]$

Этап 13.1.3.3

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y \ln (\frac{x}{y})]$

Этап 13.1.3.4

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y \frac{d}{d y} [\ln (\frac{x}{y})] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.5.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{1}{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.6

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (1 \frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.7

Умножим $\frac{y}{x}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y (\frac{y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.8

Объединим $\frac{y}{x}$ и $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y \cdot y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.9

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.10

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1} y^{1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{1 + 1}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.12

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.13

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{y}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{y^{2}}{x} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.14

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.14.1

Объединим $x$ и $\frac{y^{2}}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.14.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.14.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{x y^{2}}{x} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.14.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.14.3

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{2} (- y^{- 2}) + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.16

Умножим $y^{2}$ на $y^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.16.1

Перенесем $y^{- 2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2} y^{2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.16.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{- 2 + 2} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.16.3

Добавим $- 2$ и $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (y^{0} \cdot - 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.17

Упростим $y^{0} \cdot - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \frac{d}{d y} [y])$

Этап 13.1.3.18

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}) \cdot 1)$

Этап 13.1.3.19

Умножим $\ln (\frac{x}{y})$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (- 1 + \ln (\frac{x}{y}))$

Этап 13.1.3.20

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.3.20.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.3.20.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.4

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.4.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Этап 13.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Этап 13.1.5

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.5.1

Подставим $1 - \ln (\frac{x}{y})$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$

Этап 13.1.5.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$1 - \ln (\frac{x}{y}) = 1$ не является тождеством.

Этап 13.1.6

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.1

Подставим $1$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 13.1.6.2

Подставим $1 - \ln (\frac{x}{y})$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{M}$

Этап 13.1.6.3

Подставим $- y (\ln (x) - \ln (y))$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.3.1

Подставим $- y (\ln (x) - \ln (y))$ вместо $M$ .

$\frac{1 - (1 - \ln (\frac{x}{y}))}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 13.1.6.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 - 1 \cdot 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 13.1.6.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 - - \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 13.1.6.3.2.3

Умножим $- - \ln (\frac{x}{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.3.2.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 - 1 + 1 \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 13.1.6.3.2.3.2

Умножим $\ln (\frac{x}{y})$ на $1$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 13.1.6.3.2.4

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0 + \ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 13.1.6.3.2.5

Добавим $0$ и $\ln (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y (\ln (x) - \ln (y))}$

Этап 13.1.6.3.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Этап 13.1.6.3.4

Сократим общий множитель $\ln (\frac{x}{y})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\ln (\frac{x}{y})}{- y \ln (\frac{x}{y})}$

Этап 13.1.6.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{- y}$

Этап 13.1.6.3.5

Подставим $- y (\ln (x) - \ln (y))$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.6.3.5.1

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- y}$

Этап 13.1.6.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{y}$

Этап 13.1.6.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{y} d y}$

Этап 13.1.7

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{1}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 13.1.7.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| y |) + C)}$

Этап 13.1.7.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| y |)} + C$

Этап 13.1.7.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.7.4.1

Упростим $- \ln (| y |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 1})} + C$

Этап 13.1.7.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 1} + C$

Этап 13.1.7.4.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| y |} + C$

Этап 13.1.8

Умножим обе стороны $- y (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.1

Умножим $- y (\ln (x) - \ln (y))$ на $\frac{1}{y}$ .

$- y (\ln (x) - \ln (y)) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 13.1.8.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.8.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y (\ln (x) - \ln (y))$ .

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 13.1.8.2.2

Сократим общий множитель.

$y (- 1 (\ln (x) - \ln (y))) \frac{1}{y} d x + x d y = 0$

Этап 13.1.8.2.3

Перепишем это выражение.

$- 1 (\ln (x) - \ln (y)) d x + x d y = 0$

Этап 13.1.8.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- 1 \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Этап 13.1.8.4

Перепишем $- 1 \ln (\frac{x}{y})$ в виде $- \ln (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x d y = 0$

Этап 13.1.8.5

Умножим $x$ на $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + x \frac{1}{y} d y = 0$

Этап 13.1.8.6

Объединим $x$ и $\frac{1}{y}$ .

$- \ln (\frac{x}{y}) d x + \frac{x}{y} d y = 0$

Этап 13.1.9

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x}{y} d y$

Этап 13.1.10

Проинтегрируем $N (x, y) = \frac{x}{y}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.10.1

Поскольку $x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = x \int \frac{1}{y} d y$

Этап 13.1.10.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$f (x, y) = x (\ln (| y |) + C)$

Этап 13.1.10.3

Упростим.

$f (x, y) = x \ln (| y |) + C$

Этап 13.1.11

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$

Этап 13.1.12

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.13

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.1

Упростим $\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.1.1

Сократим общий множитель $d$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d}{d x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.13.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x} \cdot (x \ln (| y |) + g (x)) = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.13.1.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $x \ln (| y |) + g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.13.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (| y |) + g x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.1.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (| y |)$ .

$\frac{x \ln (| y |) + g x}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.13.1.3.2

Вынесем множитель $x$ из $g x$ .

$\frac{x \ln (| y |) + x g}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.13.1.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (| y |) + x g$ .

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.13.1.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.13.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (| y |) + g)}{x} = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.13.1.4.2

Разделим $\ln (| y |) + g$ на $1$ .

$\ln (| y |) + g = - \ln (\frac{x}{y})$

Этап 13.1.14

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \ln (\frac{x}{y}) = - g$

Этап 13.1.15

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | (\frac{x}{y})) = - g$

Этап 13.1.16

Объединим $| y |$ и $\frac{x}{y}$ .

$\ln (\frac{| y | x}{y}) = - g$

Этап 13.1.17

Изменим порядок множителей в $\ln (\frac{| y | x}{y})$ .

$\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$

Этап 14

Найдем первообразную $- g$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Проинтегрируем обе части $\ln (\frac{x | y |}{y}) = - g$ .

$\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x = \int - g d x$

Этап 14.2

Найдем значение $\int \ln (\frac{x | y |}{y}) d x$ .

$g (x) = \int - g d x$

Этап 14.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$g (x) = - g x + C$

Этап 15

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x \ln (| y |) + g (x)$ .

$f (x, y) = x \ln (| y |) - g x + C$