Математический анализ Примеры

Решите Дифференциальное Уравнение (dy)/(dx)+(xy)/(x^2-9)=0
Этап 1
Разделим переменные.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1.1
Перепишем в виде .
Этап 1.1.1.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 1.1.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 1.2
Перегруппируем множители.
Этап 1.3
Умножим обе части на .
Этап 1.4
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 1.4.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.2.1
Перенесем стоящий впереди знак минуса в в числитель.
Этап 1.4.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 1.4.2.3
Сократим общий множитель.
Этап 1.4.2.4
Перепишем это выражение.
Этап 1.5
Перепишем уравнение.
Этап 2
Проинтегрируем обе части.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Зададим интеграл на каждой стороне.
Этап 2.2
Интеграл по имеет вид .
Этап 2.3
Проинтегрируем правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 2.3.2
Пусть . Тогда , следовательно . Перепишем, используя и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.2.1
Пусть . Найдем .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.2.1.1
Дифференцируем .
Этап 2.3.2.1.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3.2.1.3
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.2.1.3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.3.2.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.2.1.3.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.3.2.1.3.4
Упростим выражение.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.2.1.3.4.1
Добавим и .
Этап 2.3.2.1.3.4.2
Умножим на .
Этап 2.3.2.1.3.5
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.3.2.1.3.6
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.2.1.3.7
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.3.2.1.3.8
Упростим путем добавления членов.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.2.1.3.8.1
Добавим и .
Этап 2.3.2.1.3.8.2
Умножим на .
Этап 2.3.2.1.3.8.3
Добавим и .
Этап 2.3.2.1.3.8.4
Упростим путем вычитания чисел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.2.1.3.8.4.1
Вычтем из .
Этап 2.3.2.1.3.8.4.2
Добавим и .
Этап 2.3.2.2
Переформулируем задачу с помощью и .
Этап 2.3.3
Упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.3.1
Умножим на .
Этап 2.3.3.2
Перенесем влево от .
Этап 2.3.4
Поскольку  — константа по отношению к , вынесем из-под знака интеграла.
Этап 2.3.5
Интеграл по имеет вид .
Этап 2.3.6
Упростим.
Этап 2.3.7
Заменим все вхождения на .
Этап 2.4
Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как .
Этап 3
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Объединим и .
Этап 3.2
Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.
Этап 3.3
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.3.2
Объединим противоположные члены в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.2.1
Изменим порядок множителей в членах и .
Этап 3.3.2.2
Добавим и .
Этап 3.3.2.3
Добавим и .
Этап 3.3.3
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.3.1
Умножим на .
Этап 3.3.3.2
Умножим на .
Этап 3.4
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 3.5
Упростим члены.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.5.1
Объединим и .
Этап 3.5.2
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 3.6
Перенесем влево от .
Этап 3.7
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.1
Упростим .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.1.1
Упростим числитель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.1.1.1
Упростим путем переноса под логарифм.
Этап 3.7.1.1.2
Уберем знак модуля в , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.
Этап 3.7.1.1.3
Используем свойства произведения логарифмов: .
Этап 3.7.1.2
Перепишем в виде .
Этап 3.7.1.3
Упростим путем переноса под логарифм.
Этап 3.7.1.4
Применим правило умножения к .
Этап 3.7.1.5
Перемножим экспоненты в .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.1.5.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.7.1.5.2
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.7.1.5.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.7.1.5.2.2
Перепишем это выражение.
Этап 3.7.1.6
Упростим.
Этап 3.8
Чтобы решить относительно , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.
Этап 3.9
Перепишем в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если и  — положительные вещественные числа и , то эквивалентно .
Этап 3.10
Решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.10.1
Перепишем уравнение в виде .
Этап 3.10.2
Разделим каждый член на и упростим.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.10.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 3.10.2.2
Упростим левую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.10.2.2.1
Сократим общий множитель.
Этап 3.10.2.2.2
Разделим на .
Этап 4
Упростим постоянную интегрирования.