Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 5 x y = 5 x$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int 5 x d x}$

Этап 1.2

Проинтегрируем $5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$e^{5 \int x d x}$

Этап 1.2.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Этап 1.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $5 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ в виде $5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{5 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Этап 1.2.3.2

Объединим $5$ и $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{5}{2} x^{2} + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\frac{5}{2} x^{2}}$

Этап 1.4

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x)$

Этап 2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (5 x)$

Этап 2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Этап 2.4

Изменим порядок множителей в $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (x y) = 5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + 5 x y e^{\frac{5 x^{2}}{2}} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y] d x = \int 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \int 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 \int x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$

Этап 6.2

Пусть $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Тогда $d u_{2} = 5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u_{2} = x e^{\frac{5 x^{2}}{2}} d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Пусть $u_{2} = e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Дифференцируем $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{5 x^{2}}{2}}]$

Этап 6.2.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{5 x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Этап 6.2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Этап 6.2.1.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{5 x^{2}}{2}]$

Этап 6.2.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.1

Поскольку $\frac{5}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5 x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} (\frac{5}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6.2.1.3.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 6.2.1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Этап 6.2.1.3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.4.1

Объединим $2$ и $\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}})}{2} x$

Этап 6.2.1.3.4.2

Умножим $5$ на $2$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2} x$

Этап 6.2.1.3.4.3

Объединим $\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}{2}$ и $x$ .

$\frac{10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{2}$

Этап 6.2.1.3.4.4

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2}$

Этап 6.2.1.3.4.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.3.4.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Этап 6.2.1.3.4.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Этап 6.2.1.3.4.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x}{1}$

Этап 6.2.1.3.4.4.2.4

Разделим $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ на $1$ .

$5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$

Этап 6.2.1.3.4.5

Изменим порядок множителей в $5 e^{\frac{5 x^{2}}{2}} x$ .

$5 x e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$

Этап 6.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 \int \frac{1}{5} d u_{2}$

Этап 6.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$

Этап 6.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перепишем $5 (\frac{1}{5} u_{2} + C)$ в виде $5 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 5 (\frac{1}{5}) u_{2} + C$

Этап 6.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $5$ и $\frac{1}{5}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{5}{5} u_{2} + C$

Этап 6.4.2.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Сократим общий множитель.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = \frac{5}{5} u_{2} + C$

Этап 6.4.2.2.2

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = 1 u_{2} + C$

Этап 6.4.2.3

Умножим $u_{2}$ на $1$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = u_{2} + C$

Этап 6.4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5 x^{2}}{2}} + C$

Этап 6.4.4

Изменим порядок членов.

$e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ на $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y = e^{\frac{5}{2} x^{2}} + C$ на $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{5}{2} x^{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Сократим общий множитель $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ и $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.1

Вынесем множитель $e^{\frac{5 x^{2}}{2}}$ из $e^{\frac{5}{2} x^{2}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1.2.1

Умножим на $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.1.2.4

Разделим $e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}$ на $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2 - 5 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $\frac{5}{2} x^{2} \cdot 2$ .

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) - 5 x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $- 5 x^{2}$ .

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.1.3

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 5$ .

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.2.2.1

Сократим общий множитель.

$y = e^{\frac{x^{2} (\frac{5}{2} \cdot 2 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.2.2

Перепишем это выражение.

$y = e^{\frac{x^{2} (5 - 5)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.2.3

Вычтем $5$ из $5$ .

$y = e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.3

Умножим $x^{2}$ на $0$ .

$y = e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.4

Разделим $0$ на $2$ .

$y = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$

Этап 7.3.1.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$y = 1 + \frac{C}{e^{\frac{5 x^{2}}{2}}}$