Математический анализ Примеры

$\cos (y) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$\cos (y) d y = \sin (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \cos (y) d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2

Интеграл $\cos (y)$ по $y$ имеет вид $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$\sin (y) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\sin (y) = - \cos (x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $- \cos (x) + K = \sin (y)$ .

$- \cos (x) + K = \sin (y)$

Этап 3.2

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \cos (x) = \sin (y) - K$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- \cos (x) = \sin (y) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- \cos (x) = \sin (y) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \cos (x)}{- 1} = \frac{\sin (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\cos (x)}{1} = \frac{\sin (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sin (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sin (y)}{- 1}$ .

$\cos (x) = - 1 \cdot \sin (y) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \sin (y)$ в виде $- \sin (y)$ .

$\cos (x) = - \sin (y) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\cos (x) = - \sin (y) + \frac{K}{1}$

Этап 3.3.3.1.4

Разделим $K$ на $1$ .

$\cos (x) = - \sin (y) + K$

Этап 3.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$x = \arccos (- \sin (y) + K)$

Этап 3.5

Перепишем уравнение в виде $\arccos (- \sin (y) + K) = x$ .

$\arccos (- \sin (y) + K) = x$

Этап 3.6

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\sin (y)$ из арккосинуса.

$- \sin (y) + K = \cos (x)$

Этап 3.7

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (y) = \cos (x) - K$

Этап 3.8

Разделим каждый член $- \sin (y) = \cos (x) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Разделим каждый член $- \sin (y) = \cos (x) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (y)}{- 1} = \frac{\cos (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (y)}{1} = \frac{\cos (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.2.2

Разделим $\sin (y)$ на $1$ .

$\sin (y) = \frac{\cos (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\cos (x)}{- 1}$ .

$\sin (y) = - 1 \cdot \cos (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$\sin (y) = - \cos (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.8.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (y) = - \cos (x) + \frac{K}{1}$

Этап 3.8.3.1.4

Разделим $K$ на $1$ .

$\sin (y) = - \cos (x) + K$

Этап 3.9

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (- \cos (x) + K)$

Этап 3.10

Поскольку $y$ находится в правой части уравнения, поменяем стороны так, чтобы оно оказалось в левой части уравнения.

$\arccos (- \sin (y) + K) = x$

Этап 3.11

Возьмем обратный арккосинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $\sin (y)$ из арккосинуса.

$- \sin (y) + K = \cos (x)$

Этап 3.12

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$- \sin (y) = \cos (x) - K$

Этап 3.13

Разделим каждый член $- \sin (y) = \cos (x) - K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.1

Разделим каждый член $- \sin (y) = \cos (x) - K$ на $- 1$ .

$\frac{- \sin (y)}{- 1} = \frac{\cos (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\sin (y)}{1} = \frac{\cos (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.2.2

Разделим $\sin (y)$ на $1$ .

$\sin (y) = \frac{\cos (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.13.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\cos (x)}{- 1}$ .

$\sin (y) = - 1 \cdot \cos (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot \cos (x)$ в виде $- \cos (x)$ .

$\sin (y) = - \cos (x) + \frac{- K}{- 1}$

Этап 3.13.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\sin (y) = - \cos (x) + \frac{K}{1}$

Этап 3.13.3.1.4

Разделим $K$ на $1$ .

$\sin (y) = - \cos (x) + K$

Этап 3.14

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из синуса.

$y = \arcsin (- \cos (x) + K)$